統計の質問です。

質問

統計の質問です。
本を見て行くうちに、正規分布の式が
f(x)=(1/√2π σ)e^(-1/2)((x-μ)/σ)^2
と出てきたんですが、どういう根拠でこのような式になったのかの説明が全く記述されていません。
本屋に行って、誤差解析の本や、統計学の本を３０冊ぐらいあさったのですが、この式の導出について書かれているものは、ひとつもありませんでした。
ネットでもさんざん探しましたが、それにまつわるいくつかのサイトに行っても、納得のいく導出は見つかりませんでした。（教えて！gooのサイトでも２つくらいありましたが、納得がいきませんでした。）
ちなみに統計学についてはど素人です。二項分布や、ポアソン分布については導出の仕方が載っていたので、納得できました。しかし、この正規分布だけは、導出の仕方が載っていないのです。
統計に限らず、重要な公式らしいので、ちゃんと理解したいのです。
どなたか、わかりやすい説明で、教えていただければ幸いです

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

正規分布を導こうとしたら、微分積分の計算能力が必要になります。
したがって、普通の統計の本などには載っていないと思います。

正規分布を導くとなると、めんどくさい計算をすることになります。
ここで、それを書くだけの気力は私にはありません。
なので、ここでは、導き方の一つの概略を示すことにします。

《二項分布の極限としての正規分布》
X(n)はPr[X(n)=1]=p,Pr[X(n)=0]=q,で独立同分布。
S(n)はX(1)+...X(n).
μ(n)=E[S(n)]=np.
σ(n)=root{V[S(n)]}=root{npq}.

f(t,n)=Pr[t≦(S(n)-μ(n))/σ(n)<t+1/σ(n)]=C[n,k]p^kq^{n-k}
（但しk=k(n)は、次を満たす整数。t≦(k-μ(n))/σ(n)<t+1/σ(n).）
これを、スターリングの近似とテイラー近似、それに気力と根性を用いて次の式を占めす。
f(t,n)σ(n)→(2π)^{-1/2}exp{-t^2/2},(n→∞).

他にも、母関数や、中心極限定理を用いる方法があるけど、この方法が一番「導く」感じがします。

お礼

めんどくさい質問に答えていただいてありがとうございます。
スターリングの近似！？
テイラー近似！？
何ですかそれは！！
いまの自分の数学のレベルでは、無理そうなので、後の楽しみにとっておこうと思います。
しかし、ガウスって人は、こんな式を天体観測の測定値の中で見つけてしまうとは...
天才の考えることはわからん、といったところでしょうか。
お答えいただきありがとうございます！！