統計学に関する質問です。

質問

統計学に関する質問です。
1．統計書で「正規分布する母集団から独立に得たX１、X2、…Xn」という記載がありますが、ここでの「独立に得た」は具体的にどういう意味でしょうか？
2．『Q&Aで知る統計データ解析』という本に「測定値の独立性」に関する記載があり、「同じ被験者の反応が同一条件下で反復して測定される」場合、「観測値は独立とはいえない」といった解説がありました。この「観測値の独立性」とは具体的にどういう意味でしょうか？単一事例からベースラインをとり、その後介入期を設けて、それぞれから得た観測値を検定にかけることは統計誤用でしょうか？
以上、宜しくお願い致します。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

１　厳密な定義

X１、X2、…Xnが独立であることの厳密な定義は、任意の実数a1、a2、…、anに対して、「X1<a1、X2<a2、…、Xn<anとなる確率」が「（X1<a1となる確率）×（X2<a2となる確率）×…×（Xn<anとなる確率）」に一致することです。

２　実用上の扱い

実用上は、扱っている観測値X１、X2、…Xnについて、上の関係が言えそうかどうかで判断するしかありません。

なお、どのXiも他のX１、X2、…Xnと無関係に変動するなら、X１、X2、…、Xnは独立になります。

３　「同じ被験者の反応が同一条件下で反復して測定される」場合は、次のように考えられます。例えば血圧を測るとき、X1が200以上なら、その被験者は高血圧である可能性が高いので、X2も200以上になる可能性が高いと考えるのが普通でしょう。

つまり、日本全国からランダムに選ばれた人の血圧が200未満である確率をpとすると、もし、X1とX2がランダムに選ばれた別人の観測値なら、「X1<200、X2<200となる確率」は、(1-p)×(1-p)と考えられます。ところが、同一人物からの観測値なら、これは、(1-p)×(1-p)より大きいとみるのが素直です。そうすると、１が成立しないので、これらは独立でないと判断されるわけです。

お礼

丁寧な説明、有難うございました。厳密な定義は全く知りませんでした。自分なりに理解が深まったと感じています。
ちなみに質問本文中、「測定値」「観測値」と用語が不統一でした。文献記載は「測定値」でした。