連続信号のサンプリング

質問

連続信号のサンプリング
信号処理関連の書籍を見ると、どれも
「時間tの連続信号x(t)をサンプリングした信号xs(t)は、
時間幅Tで並べたデルタ系列Σδ(t-kT)を用いて
xs(t) = x(t)Σδ(t-kT) = Σx(kT)δ(t-kT)
と表現できる」
とさらっと書いてありますが、これは何故でしょうか？
デルタ系列は t = kT のところで値が∞となりますので、
その∞にx(kT)を掛けると∞の系列が出来上がるような気がします。

あるサイトで
「時間幅が狭いパルスを信号に掛けて、
信号の瞬時値を取り出すとき、
パルスの時間幅を狭くしていくと
得られる瞬時値の電圧は小さくなっていくので
これを解決するために、パルスの高さを大きくして
得られる瞬時値を増幅する」
と書いてあったのですが、
それと関係があるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>デルタ系列は t = kT のところで値が∞となりますので、
>その∞にx(kT)を掛けると∞の系列が出来上がるような気がします。
数学的にはデルタ関数は幅0,振幅∞、積分すると1になる関数となっています。
つまり
∫[-∞,∞] x(kT)δ(t-kT)dx=x(kT)
と積分すれば標本値が取り出せるということです。

現実にはパルス幅a,高さ1/a、つまり面積1の孤立矩形パルスを使います。a→0とすれば孤立矩形パルスはデルタ関数になります。実際にデルタ関数を電気信号としては作れませんから、積分したとき面積1となる幅の狭い孤立矩形パルスで置き換えているわけです。それで現実の標本時系列が得られるのです。

>これを解決するために、パルスの高さを大きくして
>得られる瞬時値を増幅する」
>と書いてあったのですが、
その通りです。（矩形パルス幅）x（矩形パルス振幅）=1　
としてやればデルタ関数と同じことになります。現実には
（矩形パルス幅）x（矩形パルス振幅）=k（一定値）
としても信号処理上の問題は発生しません。
信号処理しやすい電圧の振幅になっていればよい訳です（符号化のADコンバータの入力信号振幅範囲に合うよう調節してやります）。
標本時系列をLPフィルターを通せば元の信号が取り出せます（再生できます）。
その理論的裏づけがシャノンの標本化定理なのです。それによれば信号の最高周波数成分の2倍以上の周期でサンプリングして得られる標本化時系列からカットオフ周波数foを標本化周波数の1/2のLPフィルターを通すことで元の連続信号が得られるということを保証しています。
お分かりでしょうか？

お礼

丁寧な解説どうもありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.1

k_kota

デルタ関数にも色々あります。

前半についてはデジタルで良く出てくる値が1のデルタ関数で考えてよいと思います。

後半ですが、積分がからむときはこちらの話になることが多い気がします。
パルス幅をT、パルスの高さを1/Tとして、積分した場合の値を1に固定します。

厳密は話は本であれば前後から判断できるはずですが、
実用であれば上記の理解でも通用すると思います。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
参考にさせていただきます。