慣性モーメントについて
ある問題を解いていたら、模範解答とどうしても異なる部分がでてきてしまいました。
僕がどのような考え違いを犯しているのかご指摘いただきたいです
どうぞよろしくお願いいたします
【問題】
x:鉛直下方向を正。y:水平方向を正。
としたとき、(0,y)の位置に(+-)y方向に摩擦なしで滑れる軸(というより軸の中心点)が付いている。
その中心点に剛体棒がxy平面内を自由に回転できるように取り付けられている。（剛体棒の端点のひとつは中心点と一致する）
また、中心点から鉛直におろした線から剛体に対して計る角度をθとするとき
（ラグランジュ方程式を求める上で必要となる）運動エネルギーを示せ。
ただし、剛体棒の長さは2lで質量はm,軸の質量などはすべて無視することにする。
【解答】
軸の中心点位置をA(0,y)として、剛体棒の重心Gと置いたとき
中心に対する回転を含めた重心の速度運動と、重心周りの回転運動として運動エネルギーを分類する立場に立つと、
重心速度は微小変位として線形化した場合
y' + lθ'となると思います。
(ゆえに1/2 m (y' + lθ')^2
また、重心周りの回転運動は
1/2 Ig α'^2 となるはずなのですが、(重心に対する回転角度)αがいまいちわかりません。
よって、中心に対する回転を含めた重心速度運動と重心周りの回転運動としてみる立場から
（軸）中心回りの回転運動と、回転による速度成分を除いた重心の速度運動としてみてみると
重心速度は
y'より
1/2 m y'^2
回転は
1/2 Ia θ'^2とあらわせ （Ia=Ig+mll
Tを表せると思いました。
(すなわちT= 1/2 m y'^2 + 1/2 Ia θ'^2
が、しかし模範解答をみると
T=1/2 m (y' + lθ')^2 + 1/2 Ia θ'^2
となっており、僕の感覚からすると、lθ'を二度数えてるようにしか思えないのです。
が、しかし問題設定的に（この後の小問で）Tに(y'+lθ')^2の項が入っていないと解けない部分があるので、どうやら僕が間違いのようなのですが
どのような考え違いを僕は犯してしまっているのでしょうか？
どうぞよろしくご教授お願いいたします。
お礼
解決しました。有難うございました。
補足
ここではdm=(M/L)*dlと置き換えるんですよね??? 例えば問題を「半径Ｒ、質量Ｍの球体を中心を通る固定軸で回転」ならどのような式を立てればいいんでしょうか????