数IIIの積分法のところですが2行目から3行目になる理由が分かりません。何

質問

数IIIの積分法のところですが2行目から3行目になる理由が分かりません。何か公式みたいなのがあれば教えて欲しいです。出来れば3行目から4行目の解説もよろしくお願いします

回答No.4

Hyokko_Lin · ベストアンサー

No.3の者です。

No.1の方の指摘の通り、どうやら1行目の被積分関数を写し間違えているようですね。

∫sin(x)*cos(x)*cos(2x)dx
=(1/2)*∫sin(2x)*cos(2x)dx
=(1/4)*∫sin(4x)dx
=(1/16)*(-cos(4x))+C

となるのが正しい問題だと思われます。

回答No.3

Hyokko_Lin

写し間違いですね。
sin(x)*cos(x)=(1/2)*sin(2x)
で、sin^2(x)ではありませんね。

さらに、右側のcos^2(x)は、
cos^2(x)=(1+cos(2x))/2
として、
∫sin(x)*cos(x)*cos^2(x)dx
=(1/4)*∫sin(2x)*(1+cos(2x))dx
=(1/4)*∫sin(2x)dx+(1/4)*∫(sin(2x)*cos(2x))dx
=(1/4)*∫sin(2x)dx+(1/8)*∫sin(4x)dx
=(1/8)*(-cos(2x))+(1/32)*(-cos(4x))+C
と計算します。

三角関数の積分では、下の二つの式はよく使いますね。
sin^2(x)=(1-cos(2x))/2
cos^2(x)=(1+cos(2x))/2

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
どこまでが、ご自分の計算なのかわかりませんが・・・

すでに、1行目から 2行目に移る時点で計算ミスを犯しています。
それとも、表記ミスだけかもしれませんが。
2行目は、∫ 1/2* sin^2(x)* cos^2(x) dxですよね？

また、その 2行目が正しいとしても、3行目にはなりません。

いずれにしても、三角関数の倍角公式を繰り返し使います。
（sinや cosが 1乗になるまで繰り返す）
最後は、置換積分を使います。

まずは被積分関数を変形するところがポイントなので、∫記号などは外して変形だけするところを考えてみてください。

回答No.1

178-tall

被積分関数の誤写じゃありませんか？
　sin(x)cos(x)cos(2x) = (1/2)sin(2x)cos(2x) = (1/4)sin(4x)
sin(*) の加法定理。

積分結果を微分すれば、被積分関数。
{-(1/16)cos(4x)}' = (4/16)sin(4x)