同値関係の問題なのですが…

質問

同値関係の問題なのですが…

(1)Xが整数のとき
｜X｜≡X(mod2)
となることを証明せよ。

(2)X?,X?,…,Xｎが整数のとき
｜X?－X?｜＋｜X?－X?｜＋…＋｜Xｎ－X?｜
は偶数であることを証明せよ。

どなたか教えてください(-_-;)

回答No.3

yoikagari · ベストアンサー

(1)
絶対値がる問題では場合分けが肝心
X≧0のとき|X|=Xだから|X|-X=0=2*0だから|X|≡X (mod 2)がいえる。
X＜0のとき|X|=-Xだから、|X|-X=-X-X=-2X=2*(-X)だから|X|≡X (mod 2)がいえる。
いずれにせよ、|X|≡X (mod 2)

(2)
X_1,X_2,…,X_nが整数のとき
|X_1 -X_2|+|X_2 -X_3|+…+|X_n -X_1|
(1)より|X|≡X (mod 2)が成り立つから
|X_1 -X_2|≡X_1 -X_2 (mod 2)，|X_2 -X_3|≡X_2 -X_3 (mod 2)，…
|X_n -X_1|≡X_n -X_1 (mod 2)がいえるから
|X_1 -X_2|+|X_2 -X_3|+…+|X_n -X_1|≡X_1 -X_2+X_2 -X_3+　…+X_n -X_1
≡X_1 -X_1≡0 (mod 2)だから|X_1 -X_2|+|X_2 -X_3|+…+|X_n -X_1|≡0(mod 2)がわかる。
したがって、|X_1 -X_2|+|X_2 -X_3|+…+|X_n -X_1|が偶数であることがわかる。

回答No.2

R_Earl

ANo.1です。
(2)の問題に関して思いついた事があるので書いておきます。

> (2)X?,X?,…,Xｎが整数のとき
> ｜X?－X?｜＋｜X?－X?｜＋…＋｜Xｎ－X?｜
> は偶数であることを証明せよ。

2を法とする合同式では偶数は0、奇数は1になります。
なので

｜X?－X?｜＋｜X?－X?｜＋…＋｜Xｎ－X?｜ ≡ 0 (mod 2)

を示せれば「｜X?－X?｜＋｜X?－X?｜＋…＋｜Xｎ－X?｜は偶数である」と言えます。

先ほど証明した|X| ≡ X (mod 2)を利用して絶対値記号を外していくと、
上手い事証明できるかもしれません。

回答No.1

R_Earl

> (1)Xが整数のとき
> ｜X｜≡X(mod2)
> となることを証明せよ。

とりあえず絶対値記号は処理が面倒なので、
まずこの絶対値記号を外すことから考えてみて下さい
(高校数学等でよく使われる方法です)。
つまり「Xが0以上の場合」と「Xが0未満の場合」に場合分けして考えてください。
「Xが0以上の場合」はすぐできますし、
「Xが0未満の場合」は合同式の定義を使えばすぐ証明できるはずです。

> (2)X?,X?,…,Xｎが整数のとき
> ｜X?－X?｜＋｜X?－X?｜＋…＋｜Xｎ－X?｜
> は偶数であることを証明せよ。

文字化けして読めません。