集合{z∈C|0<Re z≦π，|cos z|≦1}

質問

集合{z∈C|0<Re z≦π，|cos z|≦1}
を図示せよ。という問題なのですが，
|cos z|=(1/2)(e^{2y}+e^{-2y}+cos x)^(1/2)
となってしまい
(1/2)(e^{2y}+e^{-2y}+cos x)^(1/2)≦1
これだとx,yの範囲は??となってしまい，図示出来ません。
どなたか解説お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

|cos(z)|≦1 ⇔|cos(z)|^2≦1 ですので、2乗したもので今後考えていきます。

　cos(z)=cos(x)cosh(y)-i sin(x)sinh(y)　ですから、これを代入して式を変形していきます。

　　cos(x)^2 cosh(y)^2+sin(x)^2 sinh(y)^2 ≦1
　⇔cos(x)^2+sinh(y)^2 ≦1
　⇔sinh(y)^2≦sin(x)^2
　∴-sin(x)≦sinh(y)≦sin(x)　（∵sin(x)≧0, 0≦x≦π)

　つまり、求める範囲は　0≦x≦πの範囲で　曲線:sinh(y)=±sin(x) で囲まれる領域になります。

　曲線:sinh(y)=sin(x) は、増減表を書いてもらえば分かりますが、0≦x≦πの範囲で上に凸な関数になり、(0,0),(π,0)を通り、x=π/2のときy=log(1+√2)と最大になります。

　このことを踏まえて図示すると、リンク先に示される領域になります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28x%29%5E2%2Bsinh%28y%29%5E2%3C%3D1%2C+0%3C%3Dx%3C%3D%CF%80

補足

解説ありがとうございます。
まず最初にz=x+iyを入れて加法定理で分解すれば良かったんですね。
ただ，⇔の部分の式変換がよくわからないのですが(両方とも)説明していただいてもよろしいでしょうか??

回答No.3

Mr_Holland

＃１／＃２です。
　難しい式変形を書いてしまいました。

＞　cos(x)^2 cosh(y)^2+sin(x)^2 sinh(y)^2 ≦1
　⇔cos(x)^2 {1+sinh(y)^2} +sin(x)^2 sinh(y)^2 ≦1　（∵cosh(y)^2-sinh(y)^2=1）
　⇔cos(x)^2 +{cos(x)^2+sin(x)^2}sinh(y)^2 ≦1
＞⇔cos(x)^2+sinh(y)^2 ≦1

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
おかげで解くことができました。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。

＞ただ，⇔の部分の式変換がよくわからないのですが(両方とも)説明していただいてもよろしいでしょうか??

＞　cos(x)^2 cosh(y)^2+sin(x)^2 sinh(y)^2 ≦1
　　cos(x)^2 cosh(y)^2+sin(x)^2 sinh(y)^2 ≦cos(x)^2+sin(x)^2
　　cos(x)^2 {cosh(y)^2-1} ≦ sin(x)^2 {1-sinh(y)^2}
　　cos(x)^2 sinh(y)^2 ≦ sin(x)^2 {1-sinh(y)^2}　　（∵ cosh(y)^2-sinh(y)^2=1）
　　sinh(y)^2/{1-sinh(y)^2} ≦ tan(x)^2　　（∵両辺は0以上であるから）
　　-1+1/{1-sinh(y)^2} ≦ tan(x)^2
　　1/{1-sinh(y)^2} ≦ 1+tan(x)^1
　　1/{1-sinh(y)^2} ≦ 1/cos(x)^2
　　cos(x)^2 ≦ 1-sinh(y)^2　　（∵両辺は正であるから）
＞⇔cos(x)^2+sinh(y)^2 ≦1
　　sinh(y)^2 ≦ 1-cos(x)^2
＞⇔sinh(y)^2≦sin(x)^2