レンズの画角を求める光学式についての質問です。

質問

レンズの画角を求める光学式についての質問です。
参考書には下記のように書いてあります。
公式　　θ＝2tan^-1*d/2f (d=22mm ,f=50mm とする）
　　　　　　＝2tan^-1*22/2×50　　.......a
＝24.8 ..............b
数学が苦手だった私はどうしてもaからbが求まるのかが分かりません。三角関数についてすっかり忘れてしましました。
この公式のaからbの間の解き方を詳しく教えていただける方、是非とも宜しくお願いします。

回答No.4

info22_

#1,#3です。

A#3の説明のy=tanθのグラフを添付します。
グラフで　y=0.22の時のθの値である
θ=tan^(-1) 0.22≒0.216550 [rad]がどのように求められるかが説明図を見ていただけば明らかかと思います。

この変換関数を関数電卓では tan-1x , arctan(x), atan x などとして用意しています。
また高校で習うNewton法の数値計算やTaylor展開からでも計算できます。

回答No.3

info22_

「y=tanθ」と「θ=tan^(-1)(y)」(-π/2<θ<π/2) は逆関数の関係にあります。
つまり
「0.22≒tan(0.216550)」と「tan^(-1)(0.22)≒0.216550 [rad]」
という関係です。

今は後者の場合なのでy=0.22が既知の時θ=tan^(-1)(y)=tan^(-1)(0.22)≒0.216550
を求めれば良いのです。

これをグラフで書けば、y座標をy=0.22と与えてy=tanθのグラフの
θ軸のθ[rad]の値0.216550をグラフから読み取ればいいわけです。
この値がtan^(-1)(0.22)の値でこの関数は関数電卓に用意されています。
Google検索サイトで「arctan(0.22)」と入力してGoogle検索すれば
Googleの電卓機能で「arctan(0.22) = 0.216550305」[rad] と計算してくれます。

最初から「2*arctan(0.22) in degree」と入力してGoogle検索すれば
「2 * arctan(0.22) = 24.8148371 degree」
と度の単位で一気に計算してくれます。

大抵の関数電卓には tan^(-1)(x)≡arctan(x) の関数が用意されています。
この際、ラジアンと度の変換係数に注意して計算する必要があります。

回答No.2

banakona

＞“0.216550”という数値がどこからくるのかが更に解りません。

tan^(-1) はtanの逆関数。

Windowsの電卓を使うなら、表示→関数電卓　としてから
　０．２２　と置数　
　左上の[inv]にチェック
　tan

Googleを使うなら　「arctan(0.22)」を検索

arctanは、tanの逆関数。GoogleやExcelでは、こう表現します。

お礼

素早い回答ありがとうございます。
googleでやってみました。自力で計算できるものかと思っていましたが、
関数計算はやはり数学素人には電卓なしに解けないのですね。

いろいろと勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.1

info22_

θ=2tan^(-1)(22/(2×50))
=2tan^(-1)(22/100)
=2tan^(-1) 0.22
=2*0.216550[rad]
=2*0.216550*(180/π)[°]=24.81[°]

「tan^(-1)0.22」から計算する角度は「rad(ラジアン)」の単位なので、「°（度）」の単位に変換するには、変換係数「180/π」（180度＝πラジアン）を掛けてやれば、度（°）
の単位に変換できます。

お礼

回答どうもありがとうございます。
この計算式では度の単位への変換が必要だったことは理解しましたが、
“0.216550”という数値がどこからくるのかが更に解りません。

ちなみにこの公式は高校数学レベルのものなのでしょうか？
もしそうだとしたら、完全に学習したことを忘れてしまっていますので、
どうかもう少し踏み込んで解説していただけないでしょうか？