問題を打ち間違えていました。あらためて垂足三角形（２）です。

質問

さきほどの問題は間違えていたことに気が付きました。正しくは「△ABCの重心を点Pとします。点Pより対辺におろした垂線の足を点D、E、Fとします。△ABCの重心Pは△DEFにおいてはどんな点ですか？」でした。ごめんなさい。よろしくお願いします。

回答No.5

nakaizu · ベストアンサー

すみません。計算の最初でミスをしていました。
やりなおしたところ次のようになりました。(記号は以前と同じです)
LはEFをc^2:b^2に内分します。No.1の方のご指摘の通りです。
PはDLを(b^2+c^2):a^2 に内分します。
求め方はAからBCに下ろした垂線の足をQとするとQC=b cos C, QB=c cos B となります。また、BCの中点をRとするとDはRQを1：2に内分します。
これにより、Dの位置ベクトルをBとCの位置ベクトルを用いて表わせます。
同様にして、E、Fの位置ベクトルもA、B、Cの位置ベクトルを用いて表わせます。
これらを方程式と思って解くと、逆にA、B、Cの位置ベクトルをD、E、Fの位置ベクトルを用いて表わすことができます。
以上のことを使うとPの位置ベクトルをD。E、Fの位置ベクトルで表わすことができます。
それが(a^2 D+b^2 E+c^2 F)/(a^2+b^2+c^2)です。
(D,E.Fの位置ベクトルは同じ文字であらわしてあります。)
この表現から内分点の値をもとめたものです。

回答No.4

nakaizu

やはり難しい問題となります。PからBCに下ろした垂線の足をD、ACに下ろした垂線の足をE、ABに下ろした垂線の足をFとします。また、BCの長さをc、ACの長さをb、ABの長さをcとします。
DPの延長線とEFの交点をLとするとLはEFを c(a+b):b(a+c) に内分します。
さらにPはDLを (ab+2bc+ac):a(b+c) に内分します。
本来ならば三角形ABCの辺の長さではなく三角形DEFの辺の長さを用いるべきでしょうが、あまりにも複雑になるので断念しました。

お礼

回答ありがとうございます。三角形の五心のどれかにしか考えが向かっていなかったので回答見て感心しました。すごいですね。感動したのはいいのですが、なぜLはEFを c(a+b):b(a+c) に内分して、PはDLを (ab+2bc+ac):a(b+c) に内分するのかがわかりません。もし時間があれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

Ama430

最近は高校でもユークリッド幾何が一部入ってきたようですが、そうだとしても、とても難しい問題ですね。

三角形は、３本の中線によって６個の面積の等しい三角形に分割されることが知られています。
したがって、それらを２個足した△ＡＢＰ，△ＢＣＰ，△ＣＡＰも全て同じ面積です。

これをＳとおくと、
Ｓ＝ＡＢＸＰＦ÷２＝ＢＣＸＰＤ÷２＝ＣＡＸＰＥ÷２　より
ＰＦ：ＰＤ：ＰＥ＝１／ＡＢ：１／ＢＣ：１／ＣＡ

あるいは右辺の全項にＡＢＸＢＣＸＣＡをかけて、
ＰＦ：ＰＤ：ＰＥ＝ＢＣＸＣＡ：ＡＢＸＣＡ：ＡＢＸＢＣ
が成り立ちます。

でも、これだけではあまり面白くありませんね。

どなたかの補足をお待ちしています。

お礼

回答ありがとうございます。三角形の五心のどれかなのだと思っていたので回答をみてすごく感動しました。丁寧に教えてくださりありがとうございました
。またよろしくお願いします。

回答No.2

zono7

多少の悪あがきですが・・・

点Ｐがもし重心ではなく内心ならば・・・点Ｐは△ＤＥＦの外心なのですが。

お礼

回答ありがとうございます.でも重心の場合がわからないんです。すいません。またよろしくお願いします。

回答No.1

debut

前にご質問されてからずっと、あーでもない、こーでもないと考えて
いましたが、特にはっきりとしたことが言えません。

ただ、座標と直線の式、交点、直線の距離などを使って、三角形を適当
に決めて計算した所、ある関係がありそうだということが少し見えた
ので、折角なので書いておきます。三角形は２種類についてやってみた
ので、結構そうなのかもという感じです。また、これが何かの定理に
なっているのか、あるいは定理から即座に導かれるのかは不勉強でわか
りません。証明もできません。

鋭角三角形ＡＢＣで考えます。
ＰからＡＢ，ＢＣ，ＣＡに下ろした垂線の足をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとし、
ＤＰの延長とＥＦとの交点をＤ' 、ＥＰの延長とＤＦとの交点をＥ' 、
ＦＰの延長とＤＥとの交点をＦ' とします。
すると、結果として、
・ＦＥ' ：Ｅ' Ｄ＝(ＡＢ)^2：(ＡＣ)^2
・ＤＦ' ：Ｆ' Ｅ＝(ＢＣ)^2：(ＡＢ)^2
・ＥＤ' ：Ｄ' Ｆ＝(ＡＣ)^2：(ＢＣ)^2
ということが２種類の三角形について共通していました。まあ、たかだか
２種類の三角形で言えたぐらいで、とは思いますが・・・
また、このことが言えれば、あとは相似比の計算から、たとえば
・ＤＰ：ＰＤ' ＝{(ＢＣ)^2＋(ＡＣ)^2}：(ＡＢ)^2
ということも言えます。直角がからむから、三平方とか円周角での相似
とか、何かありそうですが・・・

というわけで、一応参考までに。

お礼

回答ありがとうございます。これって結構難しい問題なんですね。自分にとっては不勉強すぎて、簡単なのに気が付かないのか、それとも本当に難しいのかさえわからず悶々としていました。またよろしくお願いします。