連続する二つの整数A,A+1の積は次のように変形する

質問

連続する二つの整数A,A+1の積は次のように変形する
A(A+1) = {A(A+1)(A+1) - (A-1)A(A+1)}÷3
この性質を利用して、
2×3+3×4+4×5+……+18×19+19×20を計算する
という問題なのですが、解答によると
2×3+3×4+4×5+……+18×19+19×20
＝(19×20×21 - 1×2×3)÷3　　
と変形できるらしいのですが
いまいち理解できません。
どなたか解説をお願いします

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

まず、A(A+1) = A(A+1)(A+2-(A-1))/3
　　　　　　　= {A(A+1)(A+2) - (A-1)A(A+1)}÷3 ですね。

2×3+3×4+4×5+……+18×19+19×20
＝{2×3×4-1×2×3}/3　+　{3×4×5-2×3×4}/3　＋　・・・
　{18×19×20-17×18×19}/3　＋　{19×20×21-18×19×20}/3

ここで、１番目の｛｝内の2×3×4は、２番目の{}内のそれと相殺される。
同様に、２番目の｛｝内の3×4×5は、３番目の{}内のそれと相殺される。
・・・
17番目の｛｝内の18×19×20は、18番目の{}内のそれと相殺される。

以上から、
与式
＝{-1×2×3}/3　＋　{19×20×21}/3
＝(19×20×21 - 1×2×3)÷3　
となります。

お礼

問題を写し間違えていました、お恥ずかしい
分かりやすい解説ありがとうございました

回答No.3

kurosansan

問題が間違っていますね。

A(A+1)={A(A+1)(A+2)-(A-1)A(A+1)}÷3　が正しいですね。

これならば、

２×３＝（２・３・４－１・２・３）÷３
３×４＝（３・４・５－２・３・４）÷３
４×５＝（４・５・６－３・４・５）÷３

18×19＝（１８・１９・２０－１７・１８・１９）÷３
19×20＝（１９・２０・２１－１８・１９・２０）÷３

となって、

間は、プラスマイナスで相殺されて、
頭と尻尾で、

結局、（１９・２０・２１－１・２・３）÷３
となります。

お礼

問題を写し間違えていました、お恥ずかしい
分かりやすい解説ありがとうございました

回答No.2

koko_u_u

最初に出てきた一般式を具体的に適用するだけです。ノートに順番に書いていけばわかるはず。