半径1の円に内接する三角形の面積の最大値について

質問

半径1の円に内接する三角形の面積の最大値について
円上の任意の点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)をとり、
直線y={(y3-y1)/(x3-x1)}x+(-x1y3+x3y1)/(x3-x1)
　　y={(y2-y1)/(x2-x1)}x+(-x1y2+x2y1)/(x2-x1)
　　y={(y3-y2)/(x3-x2)}x+(-x2y3+x3y2)/(x3-x2)の３つを得る。
ここで、xy平面上の集合Dの面積?D?は２重積分
?D?=∫∫[D]dxdy = ∫[a→b]{f(x)-g(x)}dx から
?D?=1/2x1(y2-y3)+1/2x2(y1+y3)+1/2x3(y1-y2)-x2y2 になりましたが、ここからうまく進めません。根本的な求め方等アドバイスの程よろしくお願い致します。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「半径1の円に内接する三角形の面積の最大値」を求めたいのですね？

貴方のやった部分は、重積分など使わなくても、
高校の教科書にも載っています。ベクトルの範囲ですね。

面積を表すその式の値を、
制約条件 (x1)^2+(y1)^2 = (x2)^2+(y2)^2 = (x3)^2+(y3)^2 = 1 の下に
最大化する　…とやらかすと、大学生向けの演習になってしまいますが、

x1 = cos α,
y1 = sin α,
x2 = cos β,
y2 = sin β,
x3 = cos γ,
y3 = sin γ
と媒介変数表示して、面積を α, β, γ の関数として最大値を探す
…と考えれば、高校の微積分で処理できる範囲なのでした。

お礼

何とか3√3/4の答えを求めることができました。ありがとうございました。

補足

なるほど、媒介変数表示して、面積を α, β, γ の関数として最大値を探す方法もありますね。考えてみます。
また、２重積分の単元を読んでおりましたら、その単元の最後にこの問題が出ておりましたので、２重積分で求めるのだと思いました。もしよろしければ、２重積分を使って、この面積の最大値を求める方法のアドバイスをいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.3

Tacosan

さらに. 面積が回転に対して不変であることとちょっとした幾何学的知識を使えば, もっと簡単に
(1 - cos θ) sin θ
の最大化まで落ちますよね＞#2.

お礼

何とか3√3/4の答えを求めることができました。ありがとうございました。

補足

アドバイスいただきまして、ありがとうございます。
式を展開していったところ、S=1/2{sinα-sinβ+cosαsinβ-cosβsinα}となりました。
0≦α≦2π、0≦β≦2π としておりますが、Sの最大値を求めるには、ここからどのように展開していけば良いのでしょうか？お手数おかけ致しますが、宜しくお願い致します。

回答No.1

Tacosan

何をしたいのでしょうか?

補足

２重積分の単元を読んでおりましたら、その単元の最後にこの問題が出ておりましたので、２重積分で求めるのだと思いました。もしよろしければ、２重積分を使って、この面積の最大値を求める方法のアドバイスをいただければと思います。宜しくお願い致します。