数学として教えてください

質問

再質問になりますがよろしくお願いいたします。
数年前の私立中学の入試問題からの質問です。
１辺が１０cmの正方形があります。
正方形の各々の角を中心に半径１０cmの４分の１円を正方形の内部に描くと正方形の中に　弧で描かれた四角形が１個、三角形が四個、銀杏の葉形もの4個に分けられます。
その中心部の　四角形の面積の求め方を小学生もできる程度のの　＋、－、×、÷　の計算だけで教えてください。
円の面積、球の体積、1を３で割る、この程度の無理数はよいとして、よろしくお願いいたします。

回答No.14

nabeyann · ベストアンサー

#12さんのご指摘の通り間違っていました。
そこで、切り口を替えて、
円弧の長さを与えられた図形を、正方形、正三角形にした場合、
大正方形の角の一つに三角の頂点を固定すると、斜線(軸線）との、接点がズレマスよね。
元の形から正方形に変化した高さの短くなる長さを　a　と置く
元の形から正三角形に変化した高さの短くなる長さを　b　と置く
　　a＋πｒ/6＋正三角の高さ＋b＝ｒ
　　x＝（a＋b）÷πｒ/6　
　　X＝（b＋a＋b）÷πｒ/6　
基点より近い方から、接点は
　接点1・・・正三角形の高さ
　接点2・・・(1-x)r　 　　接点3・・・(√2-X)r　　と表わす
※　　　√3を使えば、
　　接点1/ｒ　＝π/6×√3÷2 ≒0.453
(1-x)r－πｒ/6＝πｒ/6×√3÷2
　(1-x)r=πｒ/6+πｒ/6×√3÷2
(1-x) =π/6(1+1/2√3)
(1-x) ≒ 0.977
(√2-X)r＝πｒ/6×√3÷2＋πｒ/6+πｒ/6×√3÷2
(√2-X)=π/6(1+√3)
(√2-X)≒1.43
　　　0.453： 0.977：1.43

※ √3を使いたくない場合、

斜線の長さ＝r√2

(1-x)r+正三角形の高さ ＝(√2-X)r・・・(1)
(1-x)r－πｒ/6（辺の長さ）＝正 三角形の高さ・・・(2)
(√2-X)r－正三角形の高さ－πｒ/6（辺の長さ）＝ 正三角形の高さ・・・(3)
(3)を整理すると　　
　正三角形の高さ＝｛(√2-X)r－πｒ/6（辺の長さ)}/2
　　　　　　　＝(1.476－2x－0.524)ｒ/2
　　　　　　＝(0.476－x)ｒ
(1)　を整理すると　　　　　　　　　
　正三角形の高さ＝(1.476－2x)r－(1-x)r
　　　　　　　　≒　(1-x)r－0.524ｒ
(2)を整理すると
　正三角形の高さ＝(1-x)r－πｒ/6（辺の長さ）
　　　　　　　　　＝(1-x)r－0.524ｒ
　　　　　　　　≒(0.476-x)r　
(1)(2)より、
　　2(1-x)r－πｒ/6（辺の長さ）＝(√2-X)r
(1-x)r＝｛(√2-X)r＋πｒ/6（辺の長さ)}/2
　　　　(1-x)＝｛(√2-X)＋π/6}/2
　　　　(1-x)－(√2-X)/2＝π/12≒　0.262　・・・(4)

(√2-X)＝(1-x)2－π/6＝1.476－2x

　　X＝√2-1－π/6+2x　
X＝√2－1.476+2x ≒ 2x－0.0617　　　
　X－2x＝0.0617
　　　X－x＝x－0.0617
・a＋πｒ/6＋正三角の高さ＋b＝ｒ
　・x＝（a＋b）÷πｒ/6　
　　・X＝（b＋a＋b）÷πｒ/6より
X－2x＝0.0617＝a÷πｒ/6　
　　　　　6a/πｒ＝0.0617
　　　　　a/ｒ＝0.0323
　x＝0.0617+b÷πｒ/6
X－x＝x－0.0617＝b÷πｒ/6
b/ｒ＝（x－0.061)*6/π　　　　　　　　　

・a＋πｒ/6＋正三角の高さ＋b＝ｒ、(2)より
　a＋πｒ/6　＋(1-x)r－πｒ/6＋b＝ｒ・・・(5)
　0.0617*6/π＋π/6　＋(1-x)－π/6＋（x－0.0617)*6/π＝1　　　
0.0617*6/π＋(1-x)＋（x－0.0617)*6/π＝1
　　(1-x)　－6x/π　＝1　　
　　(1－6/π)ｘ＝0　　　　　　　　　　
　∴ｘ＝0 ,X=－0.0617　　　
　　（1-x) ≒1
(√2-X)＝1.475
　でも、この値は正しくありません。なぜなら、b　の中に1/2√3が隠れているからです。
　　　r－a－πｒ/6－ｂ＝正三角の高さ
　　　　　　ｂ＝r－a－πｒ/6－正三角の高さ
　　　　　ｂ＝r－a－πｒ/6－πｒ/6×√3÷2
　　　　ｂ＝r－a－πｒ/6－(1－√3÷2）πｒ/6
　これを、(5)に代入
a＋πｒ/6　＋(1-x)r－πｒ/6＋r－a－πｒ/6－(1－1/2√3）πｒ/6＝ｒ
(1-x)r＋r－(1－1/2√3）πｒ/6＝ｒ
(1-x)＝(1－1/2√3）π/6
　　　　　≒ 0.977
√3の計算をしないで、　正三角の高さに、(1)～(3)の値のいずれかを入れると、堂々巡りに陥ります。
ｂ≒πｒ/6×√3÷2とすると、√3の計算をしなくてすみますが、
0.0617π/6＋(1-x)＋（x－0.0617)π/6*1/2√3＝1
0.0617π/6(1-1/2√3)-(1-1/2√3)x=0
∴ｘ＝0.0617π/6＝0.0323
（1-x) ≒0.967

　　正方形＝（２πｒ/12)^2
　正三角＝(0.967－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2
正三角/正方形 ＝{(1-x)r－２πｒ/12}(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2
＝(0.967－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(0.967－２π/12)÷2(２π/12)
≒0.4434÷2(２π/12) ≒0.4234
近似値としては、だいぶ近づきますが、やはり√3の計算をしないと。

(1-x) ≒ 0.977　の時・・・

　正三角＝(0.977－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2
　　正方形＝（２πｒ/12)^2
正三角/正方形 ＝{(1-x)r－２πｒ/12}(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2

　　　　　　　＝(0.977－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2
＝(0.977－２π/12)÷2(２π/12)
≒0.433

√3を使った計算
正三角/正方形 ＝{２π/12(+1/2√3)(２π/12)}/2(２π/12)^2
＝1/4√3 ≒0.433

(1-x) ≒ 0.977　の時
一般計算式として
辺の長さ＝πｒ/6　のとき
　正三角≒(0.977－π/6)(πｒ/6)ｒ/2
ｒ＝6/π×辺の長さと表せば
　　↓　正三角≒(0.977－π/6)×3/π×辺の長さ×辺の長さ
　　↓
正三角≒0.866÷2×辺の長さ×辺の長さ　

　　0.433または、0.866を定数とすれば、
　これを使えば！
でもこれ　√3の変形にすぎないですよね。
　だから、使いたくない。
　　そこで、(10√2-10)(10√2-10)π/4－α＝三角
と仮定したり、いろいろやって見ましたが、まだ出ません。
　前回、大チョンボをやっていますので、
　　　今回は自信なしと言うことで！

お礼

重ねて、愚問に答えてくださいました皆様方のご好意に深謝します。

補足

大変にお忙しい中に数回のご回答深謝いたします。
これなら、有名私立中学を目指し進学塾に通う生徒が解けるという解き方ですがサイト以外の協力者や和算のサイトや初歩的数学の古書などから正解が得ることができました。
一辺が等しい正方形と正三角形の面積の比率です。
(1)正三角形の角から対辺の垂線で二分した直角三角形をピタゴラスの定理で解析すると、
(2)正方形の辺と等しい直角の対辺に１０という数値を与えると、以下説明を省略して、
(3)最短の辺　＝　５
(4)１００-２５　＝　７５　＝　正三角形面積　×　２
(5)故に、辺が等しい　正方形の面積　：　正三角形面積×２　＝　
従って、不変の定数　４：３　である
注　正三角形の高さ　７５の平方根　８.６６・・・・である。

回答No.3

liar_adan

問題の、中心にできる(曲線で囲まれた菱形のような)四角形は、
高さ、幅とも、10√3 - 10です。(正三角形の高さを考えること)
ですので、面積は少なくとも26cm^2以上になるはずです。

銀杏型の部分の一つが、四角形から、正三角形と
30°の扇形2つを除いたものだから、
100 - 25√3 - 50π/3です。
四角形から4つそれを除くと、太った手裏剣のような形になります。
これの面積は
100√3 + 200π/3 - 300
です。
一方、斜めの紡錘型の一つは
50π - 200
です。
二つ重ねると
100π - 200
になります。
これには真ん中の部分がだぶってカウントされてますから、
これからさっきの面積を引くと、真ん中の太った正方形の面積が出ます。
計算すると
100π/3 - 100√3 + 100
となり、
約31.5ぐらいになります。

アルコールが入っているので自信なしです。

お礼

この出題者の目的は平面幾何学の基礎を追求するものと解釈して大勢の方々の知恵を拝借したい思いました。
貴重なご回答ありがとうございました。

回答No.2

Clawin

多分普通に解ける…と思います。
説明どおり図を書くと、４分の１円の弧で、楕円が二つ出来ますよね？
で、中心の四角形は、楕円が重なった部分・・・のはずです。なので、
まず４分の１円の面積を求め、正方形の面積、
１０×１０＝１００
から引くと、
（４分の１円の面積は求められますよね？）
１００－７８．５＝２１．５
これを２倍してさらに正方形の面積から引くと、
１００－４３＝５７
この５７が４分の１円の弧でできる楕円の面積です。
よって、２倍して、５７×２＝１１４となります。
正方形の面積は１００ですから、
１１４－１００＝１４
よって、この１４が中心部の四角形の面積です。

補足

貴重な時間を頂き、ご丁寧な回答ありがとうございました。
お礼申し上げます。

回答No.1

liar_adan

その問題、昔やったことがありますが、
どうしても「正三角形の面積」を使う必要が出てきます。
正三角形の面積は三平方の定理を使えば出てきますが、
これは小学生の範囲ではなかったように思います。
よって一般的な小学生には無理だと思います。

補足

質問の頭書の通り或る私立中学の入試問題です。
基本的な小学校教育の範囲を超えた出題も、と考えます。
難易度を下げて、正三角形の高さを８.６６として、という出題もあります。
この質問の主旨は　辺の長さ値を与えられた正三角形の面積を加減乗除の計算で求められる論理の可否を伺うものと解釈してください、
補足を兼ねた御礼とします。
　　ありがとうございました。