ベストアンサー 無理関数の定積分 2009/01/08 05:07 1/√x+√(x+1)を0から1の範囲で定積分する問題なんですけど、置換積分とかいろいろやってみたんですがやり方が分かりません。 どなたか分かる方教えてください。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー jaspachate ベストアンサー率60% (32/53) 2009/01/08 07:09 回答No.1 1/( √x + √(x+1) ) のことでしょうか。 それならば、有理化して考えます。 分母分子にそれぞれ ( √x - √(x+1) ) をかけると、 √(x+1) - √x になるので、あとは項別に積分するだけです。 ∫(x+a)^c dx = [(1/(c+1))(x+a)^(c+1)] を使います。 また、( 1/√x ) + √(x+1) のことだとしても x^(-1/2) + (x+1)^(1/2) ですから同じように積分します。 質問者 お礼 2009/01/08 13:20 ご回答ありがとうございます！！ 有理化でしたか。最近、置換とか部分積分とかばかりで基本的なことに頭が回らなくなっていたようです； 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 積分区間 積分区間(0→π)sinx/(2-(cosx^2))を積分する問題です。よろしくお願いいたします。 解答はこれをcosx=tと置換しているのですが、私は、解答を見る前は自分では、sinx=tと置換しました。が、置換するときに置換範囲で困ってしまいました。というのもｘが(0→π)のとき、tの積分範囲は0→0になってしまったからです。でも、この場合ｘが(0→π)のときsinxは0≦sinx≦1と動くので、積分範囲は置換後0→1となるのでしょうか？でもなんだかおかしいような気がします。でもなにがおかしいのかわかりません。 そもそもsinx＝ｔと置換すること自体が間違いなのでしょうか？それとも、sinx=tと置換するのも間違いではないが、その場合は、・・・その場合は範囲はどうなりますか？ よろしくお願いいたします。 三角関数の定積分 ∫1/(a+cosθ),[0<θ<2π]、ただしa>0という問題なのですが、ここでtanx/2=tと置換して積分をするということはなんとなくわかるのですが、それ以降の展開が全く分かりません。積分範囲もｔで置換したら、[0<t<0]となるんですが、これでいいのでしょうか？・・・誰か分かる方お願い致します。 三角関数を含む難しい定積分の求め方の急なお願い。 問題は、 ∫(0,x)｛1/(√2+cosθ）^2｝dθ ＜積分範囲：0からxまで＞ 三角関数を含む積分で困ったときは、tan(x/2)=t の置き換えでトライすることにしていたのですが、泥沼に入ってしまいました。 この置換ではなく、他に変形・置換など有効な解法はないものでしょうか。急ぎで恐縮なのですが、どうかよろしくお願いします！また、前述のｔの置換で進められるものかどうか、ヒントや見込みだけでもいただけると、嬉しいです。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 積分における置換の際の積分範囲は？ 現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は たとえば、 Cosx=t（元のｘの積分範囲が０→πのとき）と置換したとき、 -sinxdx=dt ｔの積分範囲は、１→―１でしょうか？それとも、－1→１でしょうか。 また Sinx=tと置換したとき（元のｘの積分範囲が０→πのとき） Cosxdx=dt このときｔの積分範囲は、 ０→１ですか？それとも、１→０でしょうか？ これによって答えもかわってくると思うのですが、、やっぱり０→１なんでしょうか？ 基本的には元の範囲が０→πのとき、置換後の範囲は、 （０に対応するｔ）→（πに対応するｔ）ということでいいのでしょうか。 お答えとその理由を教えていただきたいです。 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。 置換積分 おそらくは置換積分の問題だと思うのですが、 ∫x/(1+x^4)dx (積分範囲[0,1]) をどう置換していいかわからないのです。 1+x^2の形はtanθ、1-x^2の置換はsinθで置くというのは定石ですが、このように次数が大きい場合はどうすればよいのでしょうか。 部分分数展開も分母が1+x^4では使いにくいですし、なにかよい方法があれば教えていただきたいです。 よろしくおねがいします。 定積分の置換積分について 定積分の置換積分について 分からないところがあるのでよろしくお願いします。 下の画像の定積分の問題なのですが、置換積分のところです。 ここでぼくは、 x = 2sinΘ とおいて考えたのですが、これに置換積分の公式を使って解こうとすると、 x = √3 のときの Θ の値は π / 3 か 2π / 3 のどちらを取ればいいのか分かりません・・。 この Θ の値を決定するための条件のようなものが他にあるのでしょうか？ それとも、 x = 2sinΘ と置いて置換しようとするのが間違っているのでしょうか・・？ できれば、正答とその過程も合わせて教えてほしいです。 よろしくお願いします。 積分の問題が解けない！ ひとつ積分の問題で質問させてください。 ∫{（x^4*e^x）/(e^x－1)^2}dx（積分範囲は0→Θ/T） という問題で、TはT→∞としたときの解を求める問題です。 置換積分や、部分積分をつかって解いていくのでしょうか。 出だしからつまづいて、手が出ません よろしくお願いします。 積分時の積分範囲 現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は ∫（ｘ：0→1）１／{（ｘ―1／２）^2+3/4}ｄｘ を求めよです。 解答はｘ－１／２＝（√３／２）tanθ と置換し、積分範囲は、－π／６→π／６ となっています。 が、私は、５／６π→π／６ と置換しましたが、解答だと結果２√３π／9となりますが、 私の方法だと、－４√３π/９となります。 何度も計算したのですが、同じです。 私の置換方法はやはり間違っていますか？なぜ間違いなのでしょうか。 tanθ＝－１／√３のとき、θは、５π／６にもなると思うのですが。うか？ 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。 定積分の置換積分の問題について質問です ∫[-2～-1]1/(x*sqrt(x^2-1))dx を積分せよ。 という問題です。sqrt()はルートを表します。 x=1/costと置換することはわかったのですが、 積分範囲を変更する際に、 x=-2のときt=2π/3,4π/3 といくつか解が出てきてしまい、 ∫[2π/3～π] ∫[4π/3～π] のどちらの範囲に変更すればよいかわからなくなってしまいました。 回答よろしくお願いいたします。 定積分の置換積分の問題について質問です。 ∫[-2～-1]1/(x*sqrt(x^2-1))dx を積分せよ。 という問題です。sqrt()はルートを表します。 x=1/costと置換することはわかったのですが、 積分範囲を変更する際に、 x=-2のときt=2π/3,4π/3 といくつか解が出てきてしまい、 ∫[2π/3～π] ∫[4π/3～π] のどちらの範囲に変更すればよいかわからなくなってしまいました。 回答よろしくお願いいたします。 不定積分 無理関数 int Int 1/{x(x+1)^1/2} dx を2回置換積分して解いたのですが、何度やっても答えが 2log|x+(x+1)^1/2|になってしまいます。 どなたかご教授お願い致します。 置換積分の問題です 置換積分の問題です ∫2x/(x^4-2x^2+2)dx(積分範囲1~2) どの部分を置き換えればよいのかもわかりません。 答えはtan-1(3)です(逆正接です) どうかよろしくお願いします 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 有理関数の積分法 教科書に 1/(x^2+a^2)^m を積分するには、置換積分によって 1/(x^2+1)^m がわかればよい。 と書いてあります。 どのように、置換積分すればこうなるのでしょうか？ よろしくお願いします。 微分積分 部分積分、置換積分で解こうと思いましたができません。 a ∫x*(a^2-x^2)^(1/2)dx 0 （積分範囲0からa） 解き方を分かりやすく教えて頂けないでしょうか 置換積分の積分範囲について 置換積分をする場合、積分範囲を求めるときは、ｘの値を代入して求めるとありますが、cosθに すると積分範囲を決めることができません。 ∫√(r^2-x^2)dx 積分範囲 -r≦x≦r でx=rsinθと置くと、積分範囲は、x=-rの時θ=-π/2、 x=rの時θ=π/2となる。 ここで、x=rcosθと置くと、積分範囲は、x=-rの時θ= -π、x=rの時θ=0となる。すなわち、 ∫√(r^2-x^2)dx 積分範囲 -r≦x≦r でx=rcosθと置くと積分範囲 -π≦θ≦0 となり、これで 計算すと、-π r^2/2となりマイナスとなってしまう。 ここで、積分範囲をπ≧θ≧0 とすると計算結果はプラスとなります。 なぜ、π→０となるのか、積分範囲の求め方を教えてください。 企業の適性診断で出た積分の問題です。 企業の適性診断で出た積分の問題です。 ∫[0～∞]x^2 e^(-x^2) dx を求める問題ですが、方針を立てる段階から手詰まりです。 置換積分するにしても適当な置換が思い付きませんし、部分積分では積分範囲の∞がネックで発散する項が出てしましいます。 どなたかご教示頂けませんでしょうか。 定積分 ∫[1→2](sinπx)＾2dx この問題なんですが、置換積分を用いて t=πxとおいて dx=dt/π tの範囲は[π→2π] ∴∫[π→2π](1/π)(sint)＾2dt ＝(1/π)∫[π→2π](sint)＾2dt ＝(1/π)[(1/3cost)(sint)＾3][π→2π] ＝０ ってなったんですが答えは1/2でした。 どうすればいいでしょうか？ 積分について 写真に添付している積分の問題を解いてほしいです． 極力，詳細な回答がほしいです． 回答できる問題のみの回答でも構いません． よろしくお願いします． 一応こちらにも問題を書きます． 次の積分を( )内の置換を利用して行え． 1. ∫( dx / ( (x^2-1)^3) ) ( (x-1) / (x+1) = t ) ( )内の置換によって，次の関数を積分せよ． 2. 1 / ( (x+5) √(x^2+x+1) ) ( x + (1/2) = （√3/2)tan t ) ( √(x^2+x+1) = x + t ) 3. ( 4-x^2)^(-3/2) ( x = 2sinθ ) ( (2-x)/(2+x) = t ) Lebesgue積分の問題 lim_{n→∞}∫_{0}^{n}x^k(1-(x/n))^n dx (kは自然数，{0}^{n}は積分範囲です。) という問題で，積分範囲からnを消して，Lebesgueの収束定理を用いて解くと 考えたのですが，y=x/nと置換するとf_n(y)=n^{k+1}y^k(1-y)^nとなり， |f_n|≦φとなるφが見つけられません。ほかにもいくつか積分範囲からnが消えるように 置換してみたのですが，収束定理が使えるような関数が見つかりません。 別のやり方でやるか，上手くf_nが抑えられるように置換できるものがあるのでしょうか？ どなたか解説お願いします。 不定積分 ある参考書の問題ですが、∫dx/｛(1+x)√(1+x-x^2)｝がどうしても解けません。置換積分すれば良いのでしょうが、どれをどう置換すれば良いのか教えて下さい。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
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ご回答ありがとうございます！！ 有理化でしたか。最近、置換とか部分積分とかばかりで基本的なことに頭が回らなくなっていたようです；