なぜ2乗すると-になる数はあるのに0で割ったときの答えの数がないのか

質問

いろいろな数を0で割ることは
http://okwave.jp/qa2388598.html
でもあるように
5÷0=Zとすると
5=Z×0
となりこれを満たすZはないため
『0で割ることはできない』です。

しかし、2乗すると-になる数(i)があるのに
なぜこのような場合に新しい数
(つまり5=Z×0が成り立つようなZ)
を作らないのでしょうか?

高2が解る範囲(数12AB)で解説お願いします。

回答No.5

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

結論から言えば、自乗するとマイナスになる数を導入するには、矛盾なく導入できたけれど、０で割った結果を導入すると矛盾が出てしまうからです。

数学では、いろいろな概念を導入することができます。
この点から考えれば、「自乗してマイナスになる数」を導入することも、「ある数を０で割った結果」を導入することも同じに思えます。
この点から、なぜ、一方は導入できて一方は導入できないのかというもんがわいたのだと思います。

実は、自乗してマイナスになる数（ようするに虚数）を導入しても、実数の計算との間に矛盾が起こらないことがわかったからです。
しかも、矛盾が起こらないだけではなくて、実数も複素数の一部として、統一的に考えることすらできるというおまけがあります。

これに対して、「ある数をゼロで割った答」を導入すると、そのほかの実数の関係において、いろいろな矛盾が出てきてしまうのです。
例えば、実数に関わる定理の中で、ａ×ｂ＝０なら、どちらか一方は必ずゼロであるという性質はよく使われます。
この性質が使えなくなると、非常に困るわけです。
困るだけではなくて、これまで、実数の性質とされていたもののうち、かなりのものが、間違いになってしまいます。
このために、こちらは導入できないわけです。

お礼

回答のとおりです!
なぜ「自乗してマイナスになる数」は使っているのに
「ある数を０で割った結果の数」は使えないんだ!と思っていたんです。

導入すると矛盾が生じるというのは納得です。
確かに今までの数学の多くが通じなくなってしまいますね。
とてもわかりやすい回答でした。

回答No.7

Ishiwara

長い歴史の中で
５＝Ｚ5×０
６＝Ｚ6×０
で、Ｚ5とＺ6はどう違うのか、ということを考えた人はいたと思いますよ。Ｚ5もＺ6も「無限大」の概念ですよね。そこで無限大であるＺ5とＺ6はどちらが大きいの？と考えると、Ｚ6のほうが大きいように見えます。
ところが、研究の結果Ｚ5とＺ6は「同じレベルの無限大」であることが分かってしまったのです。それじゃ研究しても意味がない、ということになりました。
でも、もしかすると、将来この違いを研究する人がまた出てくるかもしれませんよ。
昔、０と１しか使わない代数学なんて、だれも、さほど注目しなかったのですから。

お礼

研究されたことがあるんですね。

数学は完成された分野だと思っていましたが
まだまだ研究されてないこともあるんですね。
これからも数学を学んで数学の奥深さを知りたいと思います。
興味深い解説ありがとうございました。

回答No.6

y_akkie

うーん…。それは自分も、ずーと昔に考えていたな…。

虚数は定義されているのに、分母が０の数字がなぜ定義されていないのかについては、自分の中でも長年の疑問であったように思います。
そもそも、虚数が定義されたのは、３次方程式の解の公式を導出するために、どうしてもその概念が必要であったという歴史的事実を聞いた事があります。

しかし、分母が０であるような数字を、あえて実数や虚数以外の新たな数字の概念として定義をすると、いくつかのケースで不都合が生じてしまいます。
例えば、虚数であっても多項式や方程式などは成立しますが、分母が０になるような数字には、それらが全く成立しないような異次元的な数字になってしまいます。このような数字に果たして利用価値や定義する必要性や数理分野での新たな理論として研究する価値はあるでしょうか？
近い将来に必要となれば新たな理論の提唱に踏み切る事もあり得るでしょうが、このような数字の場合は、そう簡単に定義する事は不可能だと思います。

ちなみに0^n、底が0、1の対数関数、log0なども全て未定義です。
だが、不思議なことに、log-2や(-2)^(2/3)などは、複素数として定義されています。

話がだいぶ逸れてしまいましたが、要するに複素数とかのように、簡単に定義する事ができない事や新たな数字の概念を導入するメリットなどがない事から、未だ定義されていないのではないでしょうか。

お礼

同じようなことを考える人がいて少し安心しました。
数学をやっているといつもなんでと疑問が湧いてくるのに
周りは平然と受けていたので…

「必要性がない・研究する価値がない」というのは面白いですね。
必要となれば新しい理論が提唱されるというのは、数学の自由さを感じました。

また未定義な数が多いことにも驚きました。

やはり数学は奥深く、面白いものなのですね。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.4

zk43

そもそも０とは何か？
どんな数に足しても、その数が変わらない数のことです。
すなわち、どんな数Ａに対してもＡ＋０＝Ａとなる数のことです。
このような性質をもつ数が他にもあるか？
仮にあったとして、それを０’（ゼロダッシュ）とする。
すると０に０’を足しても変わらないので、０＋０’＝０
また、０’に０を足しても変わらないので、０’＋０＝０’
足し算は順序を変えても計算結果は変わらないので、
０＋０’＝０’＋０
よって、０＝０’
つまり、「どんな数に足しても、その数が変わらない」
という性質をもつ数は一つしかない。それを０と表す。

また、どんな数Ａに対しても、
０×Ａ＝（０＋０）×Ａ＝（０×Ａ）＋（０×Ａ）
両辺から０×Ａを引くと、（あるいは、－（０×Ａ）を足す）
０＝０×Ａ
（数学では、ある数Ａに対してＡ＋Ｂ＝０となるＢをＢ＝－Ａ
と表す。）
つまり、どんな数に対しても、０を掛けると０になってしまいます。

また、Ａ割るＢとは、数学では、ＢＣ＝Ａを満たすＣのことと
定義されます。
ここで、Ｂ＝０とすると、０×Ｃ＝Ａすなわち、Ａ＝０
となってしまいます。
すなわち、Ａが０でないとき、０×Ｃ＝Ａを満たすＣは存在しません。
つまり、Ａ÷０は存在しません。
それでは、Ａ＝０のときはどうか？（０÷０）
０×Ｃ＝０を満たすＣは何でも良く、１つに定義できません。
つまり、０÷０は定義できません。

このようなことは、代数学の体（たい、英語ではfield）の理論として
系統立てて説明されています。

０が発見されたのは、ご存知のようにインドにおいてで、７世紀に
ブラーマグプタという人が０に関する本を書いたのが最初と言われ
ています。しかし、一般に０が数と認められるまでには時間がかかっ
たようです。マイナスの数も一般に数と認められるようになったの
は１９世紀になってからという説もあります。虚数も名前からわかる
とおり、発見当時は本当に数と認めてよいのか？という疑問があった
のかimaginary numberと命名されてしまいました。しかし、これなし
には数学のみならず、物理学、工学などもありえないと思います。
一般の人が普段の生活で使うことはないので、一般に数と認められる
には相当時間がかかるかも…そんな日は来ないかも…

なんか長くなってしまった…

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
1段階ずつ書いてあったのですんなり理解できました。

一番最後のほうを見て思いましたが
やはり新しい考えというのは確立されるまで時間がかかるものなのですね。

回答No.3

134

「作らない」という表現は、正しくないかもしれません。

距離÷時間で速度が出ます。

でも、日常生活では、減速したり加速したりして動くものも、たくさんあります。
それらの速度を「厳密に」測定するなら、できるだけ短い時間（０に近い値）で割った移動距離を調べていくことが必要そうです。

　積分は、ほかに面積や体積の計算に使われたりします。

　そして、その短い時間ごとの移動距離を足していくと、より厳密な距離がでそうです。

　最初の調べ方が　微分法、後者が積分法　という方法です。
もしかすると、高校３年生くらいに学習するのではないかと思いますけど…

補足

ちょうど微分積分は習い終わったところでした。
数学の時間は数式ばかりに向き合っていて
何に使うんだろう?と思っていましたがこういう考えにも使えるんですね。

さて
「できるだけ短い時間（０に近い値）で割った移動距離を調べていくこと」
というのは、下の回答と同じで
「極限」
5÷x=yとし[x→0]
という考え方ということでしょうか?

回答No.2

rulua

「5÷0」　は　「無限大」　となりますね。あえて言えば。
y ＝　5÷x　をグラフにすると・・・
xが小さくなるに従い、yは大きくなり0に限りなく近いところでは
無限大となっていることが分かります。
一般の計算では使いにくいですけど使うところでは使うとも思いますよ。

お礼

確かにグラフを書くとどんどん数が増えるので無限大に近づきますね。
今までは解なしと言う考えだけでしたがそういう考え方もあるのですね。
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u

まぁ適当に。
5 = Z × 0 なる Z を実数体系に追加したとしよう。

結合則は成り立って欲しいよね。

5 × 2 = (Z × 0)×2 = Z ×(0×2) = Z × 0

分配則も成り立って欲しいよね。

5 × 2 - 5 = Z × 0 - Z × 0 = (Z - Z) × 0 = 0 × 0 = 0

あれ？

お礼

実例を出していただきわかりやすいです。
なるほど、上の回答にもありますが確かに矛盾が出てしまいますね。