第一種スターリング数と第二種スターリング数の関係
Stirling Number of the Second Kind
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html
Stirling Number of the First Kind
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html
を元に考えます。
第一種スターリング数と第二種スターリング数は、いわば行列として逆行列の関係になっていることはわかります。
次に、第一種スターリング数のサイトの(13)の公式でxを-xに変更し、文字を少し変更すると、
(1-x)(1-2x)…(1-kx)=Σ[r=0,k]s(k+1,k-r+1)x^r
rをk-rに変数変換すると、
(1-x)(1-2x)…(1-kx)=Σ[r=0,k]s(k+1,r+1)x^(k-r)
これを、第二種スターリング数のサイトの(14)の公式の分母に代入すると、
x^k=Σ[n=k,∞]Σ[r=0,k]S(n,k)x^n * s(k+1,r+1)x^(k-r)
x^kで割ると、
1=Σ[n=k,∞]Σ[r=0,k]S(n,k)*s(k+1,r+1)*x^(n-r)
変数n,rにおいて、n-r=tとおいて、x^tの項をまとめると、
1=Σ[t=0,∞]Σ[r=0,k]S(r+t,k)*s(k+1,r+1)*x^t
つまり、
t=0のとき、
Σ[r=0,k]S(r,k)*s(k+1,r+1)=1
t≧1のとき、
Σ[r=0,k]S(r+t,k)*s(k+1,r+1)=0
となります。
これを直接示したいと思うのですが、どうすればよいのでしょうか？
お礼
誠にありがとうございます。 グラフが単峰形、対数凸関数、項比が減少列、生成関数が実数解のみをもつ(このとき、係数に関してニュートンの不等式が成立) などと、いろいろな捉え方があるようで、奥深いと感じました。 最大値の評価、最大値をとるkの値の近似、2点で最大になる可能性、異なるkでS(n,k)が等しくなる可能性、分布としての連続化などといった研究もあるようで、奥深いと感じました。 また詳しくは知りませんが、第二種スターリング数の最大値に関するハーパーの予想(Harper's conjecture)が否定的に解決されたことも聞きました。 第一種オイラリアン数や第二種オイラリアン数 http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_numbers においても、同様の性質があると予想しています。 ベルヌーイ多項式やオイラー多項式の0でない係数の絶対値 http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials においても、同様の性質があると予想しています。 ベキ和公式の0でない係数の絶対値 http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html においても、同様の性質があると予想しています。 数nをk個の自然数の和として表す分割数p(n,k) http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html においても、同様の性質があると予想しています。 第一種チェビシェフ多項式T[n](x)や第二種チェビシェフ多項式U[n](x)の0でない係数の絶対値 http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials においても、同様の性質があることは肯定的に自己解決済みです。 二項係数C(n,k) においても、同様の性質があることは肯定的に自己解決済みです。