測定値の和及び差の標準偏差の意味

質問

以下のような問題がありました。

気体Xを含む混合気体を入れた二つの容器A,Bがある。
それぞれの容器に含まれる気体Xの物質量を多数回測定したときの測定値が正規分布に従う場合、
二つの容器A,Bに含まれるXの物質量の測定値の和および差の標準偏差に関する次の記述の中から、
正しいものを一つ選べ。
ただし、誤差の伝播則が成り立つものとする。

1　測定値の和の標準偏差は0である。
2　測定値の差の標準偏差は0である。
3　測定値の和の標準偏差は、差の標準偏差に比べて大きい。
4　測定値の差の標準偏差は、和の芳醇偏差に比べて大きい。
5　測定値の和および差の標準偏差は互いに等しい。

このような問題なのですが、
「測定値の和の標準偏差」と「測定値の差の標準偏差」の
意味が分からないので、どのように考えればよいか分かりません。
測定値の和とは例えば、
3回測定してそれぞれ、1.0、0.9、1.1ならば、3.0である。
というようにそのまま受け取ればよいのでしょうか？
それと和および差の標準偏差とは、√{(平方和)^2/(n-1)}で算出される
標準偏差とはまた違う意味なのでしょうか？

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

３回測定して測定値が１．０、　０．９、　１．１であれば
平均値が１．０です。それが容器Ａの物質量ｘの測定値（測定値を基にして得られた推定値）です。１．０の両側に０．９、１．１と値がばらついています。ばらつきの幅は±０．１です。（問題ではこのばらつきが正規分布に従うとしているのです。）

Ｂについて同じような測定をしたとします。
測定値が１．９、２．０、２．１だったとします。
平均は２．０、ばつきは±０．１です。
測定値の和というのはＡの測定値とＢの測定値を足すということです。合計で３．０という数字にいくらのばらつきがあるのか、差の１．０にいくらのばらつきがあるのかです。
和にも差にも±０．２の幅があるのがわかると思います。
和についての最大値と最小値、差についての最大値と最小値を求めてみればわかります。

測定値という言葉が２つの意味に使われていますからわかりにくくなっています。

測定によって得られた値を基にしてｘの値を推定した値、これを普通ｘの測定値と呼んでいます。この推定値を求めるために何度か測定を繰り返したときの個々のデータも測定値です。

お礼

なるほど。
測定値とは平均の値（推定値）のことだったんですね。

でもまだ理解できていません。
しばらく考えてみようかと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

hitokotonusi

>気体Xを含む混合気体を入れた二つの容器A,Bがある。
>それぞれの容器に含まれる気体Xの物質量を多数回測定したときの

という状況にどれだけの意味があるのかわからないのですが、

容器Aについてのその物理量をxA,
容器Bについてのその物理量をxB,

としたとき、xA+xB、または、xA-xBの標準偏差がどうなるかを、誤差の伝播則をもとに考えなさいという問題ですね、多分。二種類の混合気体のなにかの物理量を足したり引いたりすることになんの意味があるのか不明ですが、あまり考えずに機械的にやればそうなります。

もっと分かりやすい(と思われる)例では、二つのサイコロを振ったときに、二つの目の和と差がどういう分布をするかを考え、その標準偏差を求めることと考え方としては同じです。二つのサイコロなら全部数え上げても36通りしかありませんから、多寡が知れています。分からなければやってみてください。

お礼

サイコロを使ってしばらく考えてみようと思います。
ありがとうございました。