標準偏差？？

質問

標準偏差を用いて、
a±σ[a]、b±σ[b]　([]は添え字)
と表される二つの量があるとします。この二つの量から、
S=(a±σ[a])/(b±σ[b])
で表されるSを求めるとき、Sの標準偏差を用いた表し方はどのようになるのでしょうか？

回答No.6

hitokotonusi · ベストアンサー

たぶん、かまわないと思います。

もともと二乗和のタイプの誤差の伝搬の法則は、個々の測定値の母集団が正規分布をしていれば成立するもので、それを誤差一般で準用しているものです。

おそらく『最小自乗法により求めた定数aの標準偏差』は正規分布を前提にして、同じ誤差の伝搬の法則を使って導出されていると思いますので、なんの問題もなく使えるのではないでしょうか。

お礼

hitokotonusiさんがかかれた式で求めることが出来ました。
テストが誤差について、ちゃんと学びたいと思います。。。。

本当に助かりました、ありがとうございました！

回答No.5

hitokotonusi

＞S=√((a±σ[a])/b)
＞でSが表されるとき、Sの標準偏差はどのようになりますか？

不確かさがないbは定数で測定値はaのみでしょうか？
それなら、Sをaの関数として、

S(a)=(1/√b) a^(1/2)

ですから、

[σ[S]/S]^2 = (1/2)^2 (σ[a]/a)^2

積(割り算含む)の場合、一般に、ある量fが測定値x1,x2,・・・の関数として

f(x1,x2,x3,・・・) = x1^(a1) x2^(a2) x3^(a3)・・・・

と書け、このときのfの標準偏差をσ[f]とすると

(σ[f]/f)^2 = (a1)^2(σ[x1]/x1)^2 + (a2)^2(σ[x2]/x2)^2 + ・・・・=Σ(ai) ^2(σ[xi]/xi)^2

になります。(σ^2にかかる係数には最確値を使う。)

さらに一般的な場合は、参考URLのようにします。このページは2変数の場合しか
書いてありませんが、変数が増えても同様です。

なお、標準偏差の計算に二乗和の平方根ではなく絶対値の和をとるように書いてある事も多々ありますが、1993年にISOや国際度量衡局が中心となってまとめたガイド(GUM)ではここに書いた二乗和の方で一本化する事が提言されていますので、こちらのほうを推奨します。

参考URL：

http://epp.eps.nagoya-u.ac.jp/~sirono/cra20/node19.html

補足

回答ありがとうございます。

>不確かさがないbは定数で測定値はaのみでしょうか？
そうです！

何度も申し訳ありませんが、手元にある本にもhitokotonusiさんのかかれた式が載っているのですが、σは平均の実験標準偏差と書いてあります。
上で書いたσ[a]というのは最小自乗法により求めた定数aの標準偏差で、平均の実験標準偏差ではないのですが、この場合にも上の式を用いてよいのでしょうか？

回答No.4

sanori

三たびお邪魔します。

どうも私の認識は間違っていたような気がします。
＃３さんのご回答が正しいと思います。

補足

そうでしたか、ありがとうございます^^

回答No.3

hitokotonusi

普通は

S=a/b

として、Sの標準偏差σ[s]は

(σ[S]/S)^2 = (σ[a]/a)^2 + (σ[b]/b)^2

σ[s]=S√[(σ[a]/a)^2 + (σ[b]/b)^2]
　 　=(a/b)√[(σ[a]/a)^2 + (σ[b]/b)^2]

ですよ。いわゆる誤差の伝搬の法則です。
掛け算・割り算の場合は相対誤差の二乗で足し合わせます。

ですから

＞S=(a±σ[a])/(b±σ[b])

とかくのは感心しませんね。

補足

回答ありがとうございます。誤差の伝播の法則でしたね。。

＞S=(a±σ[a])/(b±σ[b])
とかくのは感心しませんね。

たしかにこのような表記はまずかったです。。

ついでにもうひとつ質問なのですが、(また、このような表記もまずいかもしれませんが)
S=√((a±σ[a])/b)
でSが表されるとき、Sの標準偏差はどのようになりますか？

お答えいただけたらありがたいです

回答No.2

sanori

一つ書き忘れましたが、

σに次元（たとえばメートルとかグラムとか）が付いているようでしたら、
先程のような足し算をする前に、σを無次元にしてください。

たとえば、５０メートル±５メートル　の場合は、
５０メートル　±　１０％　とか
５０（１±０．１）　メートルとか
にします。

（５０メートル　±　１０％）／（２０秒　±　５％）
　　＝　２．５　メートル／秒　±　１５％

回答No.1

sanori

商の場合の、誤差の伝播ですね。

積や商の場合の誤差は、２つの誤差の足し算になります。

S=(a±σ[a])/(b±σ[b])
　＝　ａ／ｂ　±　（σ[a]＋σ[b]）

補足

回答ありがとうございます。
hitokotonusiさんの式はネット上にも載っていたのですが。。。

sanoriさんの式で求めると桁がおかしなことになってしまうのですが^^;