excelにおける標準偏差について

質問

今実験で、複数の測定をしその結果から平均および標準偏差を出しています。しかし、たとえばAを0.762±0.037、Bを0.744±0.012とするとき、100-B/A*100の標準偏差（相対標準偏差？）をexcelで計算する方法がわかりません。ご教授おねがいします。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1の補足への回答です。

申し訳ありません。計算間違いがありました。
No.1の最後の偏微分のところを訂正します。
（微分するのだから、定数項はなくなります）
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A,Bで偏微分すると
(∂Z/∂A) = B/(A^2)*100
(∂Z/∂B) = -1/A*100
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計算してみたところ、Zの標準偏差は5.0になりました。

乱数でシミュレートしてみたら、ほぼ5.0ぐらいになりました。ただ、この近似の誤差はかなり（1～数%)あるようです。
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偏微分（∂）は、一方の変数を一定にして、他方の変数で微分するものです。
(∂Z/∂X)であれば、Yを定数を見なしてZをXで微分します。

積、和、差の例を書きます。

Z=c*X*Y の場合（cは定数）
(∂Z/∂X) = c*Y
(∂Z/∂Y) = c*X

Z=c*(X^2)*(Y^3) の場合 (cは定数）
(∂Z/∂X) = c*(X^2)*3*(Y^2)
(∂Z/∂Y) = c*2*X*(Y^3)

Z=c*X + d*Y の場合 (c,dは定数）
(∂Z/∂X) = c
(∂Z/∂Y) = d

Z=c*X - d*Y の場合 (c,dは定数）
(∂Z/∂X) = c
(∂Z/∂Y) = -d

補足

ご返答ありがとうございます。
訂正後の計算も約５となり、たぶんどこに何を代入するかはわかりました。
ありがとうございます。
最後に、積和差のときも
σz^2 = ((∂Z/∂X)[X=Ex])^2 σx^2 + ((∂Z/∂Y)[Y=Ey])^2 σy^2　[ア]
にNo.2で返答いただいた、偏微分の式を代入すればよいのでしょうか？
ケースバイケースで式を立てなくてはならないのでしょうか？
ご返答お待ちしております

回答No.3

shkwta

No.2の補足への回答です。

＞ σz^2 = ((∂Z/∂X)[X=Ex])^2 σx^2 + ((∂Z/∂Y)[Y=Ey])^2 σy^2　[ア]
＞ にNo.2で返答いただいた、偏微分の式を代入すればよいのでしょうか？

そのとおりです。
ただし、和と差について[ア]は正確な式ですが、積と商の場合は近似です。近似の条件は、「平均値の絶対値に比べて標準偏差が非常に小さい場合」です。

お礼

ご返答ありがとうございました。これで気になって眠れない夜がこなくてすみそうです。

回答No.1

shkwta

確率変数同士の商の標準偏差を求める一般的な方法はないようです。
ただし、標準偏差が平均値に比べて十分に小さい場合は次の近似を使えます。

互いに独立な確率変数X, Yとその微分可能な関数f(X,Y) を考え、
Z = f(X,Y)
とします。X,Yの標準偏差からZの標準偏差を近似的に求めることを考えます。

X = Ex + Xe
Y = Ey + Ye
Z = Ez + Ze

とおきます。Ex,Ey,EzはそれぞれX,Y,Zの平均値です。Xe, Yeは小さいとすると、

Z≒f(Ex,Ey) + (∂Z/∂X)[X=Ex] Xe + (∂Z/∂Y)[Y=Ey] Ye

(∂Z/∂X)[X=Ex]は、ZのXに関する偏導関数のX=Exにおける値です。
(∂Z/∂Y)[Y=Ey]は、ZのYに関する偏導関数のY=Eyにおける値です。

以下、≒を=と書きます。Xe,Yeの平均値は0ですから、
Ez = f(Ex,Ey)
Ze =(∂Z/∂X)[X=Ex] Xe + (∂Z/∂Y)[Y=Ey] Ye

独立な確率変数の和では、分散がもとの確率変数の分散の和になるので、

σz^2 = ((∂Z/∂X)[X=Ex])^2 σx^2 + ((∂Z/∂Y)[Y=Ey])^2 σy^2　[ア]

ただし、σx, σy, σz はX,Y,Zの標準偏差です。
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ご質問の場合は、
Z = f(A,B) = 100-B/A*100
（※念のため確認しますが、100-B/(A*100) ではないですね？また、AとBは独立ですね？）

A,Bで偏微分すると
(∂Z/∂A) = 100+B/(A^2)*100
(∂Z/∂B) = 100-1/A*100

あとは、[ア]の式でσz^2が求められます。その√を求めればσzです。

よくわからなかったら、補足してください。

お礼

今回は商であったんですが、積や加減だとどのようになるのでしょうか？今回と同じでよいのでしょうか？

補足

本当に早い返答ありがとうございます。
式は100-(B/A)*100でAとBは独立です。
私はこの分野にあまり詳しくないので、ちょっと難しいですね。
[ア]の式に今回の値を代入したら、δｚは8.4になりました。これであっているのでしょうか？