確率

質問

A映画館では日曜昼の料金が1ドルである。ある日曜日、A映画館の受付嬢は釣り銭がないことに気付いた。その状況で8人の客がA映画館に到着した。
その中の4名は1ドルコイン1枚しか所持しておらず、他の4名は2ドルコイン1枚しか所持していない。そのため客の並び順によっては、8人全ての客にお釣りを渡すことができない可能性がある。8人の客が無作為に並ぶ場合、全員にお釣りを渡すことのできる確率を求めよ。
答えは1/70,1/14,1/7,1/5,1/4のいずれかです。

いろいろ計算して検討してみましたが答えのどれとも一致ません。。
分かる方教えて頂きたいです！！
宜しくお願いします！

回答No.1

mapooo · ベストアンサー

１ドルコイン１枚しか所持していない４名を「1」
２ドルコイン１枚しか所持していない４名を「2」
で表わすこととします。

全員にお釣りを渡すことのできる場合は
　1.　11112222
　2.　11121222
　3.　11122122
　4.　11122212
　5.　11211222
　6.　11212122
　7.　11212212
　8.　11221122
　9.　11221212
10.　12111222
11.　12112122
12.　12112212
13.　12121122
14.　12121212
の１４通りだと思います。

「1」４個と「2」４個の並べ方の個数は
（８×７×６×５×４×３×２×１）÷（４×３×２×１）÷（４×３×２×１）
＝７０通り。

従って、１４／７０　＝　１／５
が正解だと思われます。

お礼

回答ありがとうございます。
やはり地道に調べる、ということだったんですね。

回答No.2

f272

もう答えが出ているようなので，一般化したものを紹介する。

n人が1ドルコイン1枚で，n人が2ドルコイン1枚だったらどうなるか？
全体の数はC(2n,n)になる。ただしC(m,n)はmからnを取り出す組み合わせの数。
全員にお釣りを渡すことのできる場合の数はちょうどカタラン数C(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)=(1/(n+1))C(2n,n)になっている。
だから求める確率は1/(n+1)

どうしてカタラン数になるかと言えば
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E6%95%B0
の「次の図のように対角線を跨がずに向かい合った点をつなぐ道順の総数と説明できる。」というところで，横に行くのを1ドルコインを持った人が来ると言い換えて，縦に行くのを2ドルコインを持った人が来ると言い換えれば明らかだろう。