確率の問題です。考え方が分かりません。

質問

確率の問題です。既出かもしれませんが見つけられません。
考え方が分かりません。どなたかお助けください。

３台の車でレースします。（ドライバーの腕は考慮しません。性能も一定です。）
他に出場車はなく、３台だけです。数千回のレース結果から、

Ａ社の車は、４６％の確率で１位に、３０％の確率で２位に入ります。
Ｂ社の車は、３０％の確率で１位に、３６％の確率で２位に入ります。
Ｃ社の車は、２４％の確率で１位に、３４％の確率で２位に入ります。

この前提のみの状況下で、
ＡＢＣ　　　ＡＣＢ　　　ＢＡＣ
ＢＣＡ　　　ＣＡＢ　　　ＣＢＡ
の順位となるそれぞれの確率はどのようになるのが一番「確からしい」のでしょうか？

私の考え(1)
１位から順に考えますと、
ＡＢＣ　0.46×36/(36+34)≒23.66％
ＡＣＢ　0.46×34/(36+34)≒22.34％
ＢＡＣ　0.30×30/(30+34)≒14.06％
ＢＣＡ　0.30×34/(30+34)≒15.94％
ＣＡＢ　0.24×30/(30+36)≒10.91％
ＣＢＡ　0.24×36/(30+36)≒13.09％
となり、合計で100％ですので一見会ってる様に見えます。

しかし、２位から順に（２位を先に決めて、というか？で）みると（考え(2)）、
ＡＢＣ　0.36×46/(46+24)≒23.66％
ＡＣＢ　0.34×46/(46+30)≒20.58％
ＢＡＣ　0.30×30/(30+24)≒16.67％
ＢＣＡ　0.34×30/(46+30)≒13.42％
ＣＡＢ　0.30×24/(30+24)≒13.33％
ＣＢＡ　0.36×24/(46+24)≒12.34％
となり、やはり合計は100％になりますが、ＡＢＣの順以外は
(1)とは異なった確率になってしまいます。（多分３位から始めても？）

このことから(1)・(2)とも間違っているのだと思いますが、
正しくはどのような式になるのでしょうか？
きっと数学的には初歩的かもしれませんが、どこで嵌っているのか御教示いただければ幸いに存じます。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

質問氏が間違った理由は、No.1 にある通りですね。

No.4 の方程式を解くと、
pBCA = x,
pCAB = x,
pBAC = 30 - x,
pCBA = 24 - x,
pABC = 12 + x,
pACB = 34 - x.
と、自由度 1 の解が求まります。
6 個の確率がどれも 0～100％ という条件から、
0 ≦ x ≦ 24％ と判ります。

どの順位が一番起こり易いかは、
0 ≦ x ≦ 11％ のときは pACB が最大、
11％ ≦ x ≦ 24％ のときは pABC が最大
なので、それ以上は分かりませんね。

お礼

この条件だけでは答が無限にあり、
一つの組み合わせになるには条件が足りない
ということですね。
ありがとうございます。

回答No.6

momordica

＃４です。

＞＃５さん
（2）の式が間違っています。正しくは
　BAC＋BCA＝0.30
ですね。
＃５さんの書かれた式だと、(2)のみからBAC=0.15と求まってしまいます。
1つ値が定まれば方程式が6つになりますから、芋づる式にすべて値が決まるのは当然です。

例えば、私が挙げた

　(a)　P(ABC)+P(ACB)+P(BAC)+P(BCA)+P(CAB)+P(CBA)=1
　(b)　P(ABC)+P(ACB)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =0.46
　(c)　　　　　　　　　　　　P(BAC)+P(BCA)　　　　　　　　　　　 =0.30
　(d)　　　　　　　　　　　　P(BAC)　　　　　　+P(CAB)　　　　　 =0.30
　(e)　P(ABC)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 +P(CBA)=0.36

という5つの式に

　（ｆ）　P(ABC)=0.30

という条件を加えると、

　P(ACB)=0.16,　P(BAC)=0.12,　P(BCA)=0.18,　P(CAB)=0.18,　P(CBA)=0.06

となり、これは問題の条件をすべて満たします。同様に

　(g)　P(ABC)=0.20

という条件を加えると、

　P(ACB)=0.26,　P(BAC)=0.22,　P(BCA)=0.08,　P(CAB)=0.08,　P(CBA)=0.16

と全く違う組み合わせになりますが、これも条件はすべて満たしています。
つまり、問題の条件を満たす確率の組み合わせは無数にあるのです。

ちなみに、確率が一番高くなる順番を求めたいというのが元々のご質問だったと思いますが、
先の方の条件では確率が最も高いのはP(ABC)ですが、後の方の条件ではP(ACB)となるように
これもただ一つに決定することはできません。

お礼

この条件だけでは答が無限にあり、
一つの組み合わせになるには条件が足りない
ということですね。
ありがとうございます。

回答No.5

toratorasecond

ポイントはA,B,Cが3位になる確率を求めることand同じ確率の式を見つけること
のようです。

１位になる確率から
ABC＋ACB＝0.46 (1)
BAC＋BAC＝0.30 (2)
CAB＋CBA＝0.24 (3)

同様に2位になる確率
BAC＋CAB=0.30 (4)
ABC＋CBA=0.36 (5)
ACB＋BCA=0.34 (6)

A、B、Cがそれぞれ3位になる確率（1か2か3位になるしかないから）
BCA+CBA=1-0.46-0.30=0.24 (7)
ACB+CAB=0.34 (8)
ABC+BAC=0.42 (9)

確率が同じなのは3つ
(2)=(4)　と　(3)=(7)　と　(6)=(8)

(2)=(4)から
BAC＋BAC＝BAC＋CAB
これと(4)から
BAC＝CAB＝0.15

(3)=(7)から
CAB＋CBA＝BCA+CBA
CAB＝BCA

(6)=(8)からも同じ結果CAB＝BCA

結果
BAC＝CAB＝BCA＝0.15
あとは芋づる式

(3)から
CBA＝0.24-0.15=0.09
これと(5)から
ABC=0.36－0.09=0.27
これと(1)から
ACB＝0.46-0.27=0.19
これと(8)から
CAB=0.34 -0.19=0.15
これと(3)から
CBA＝0.24-0.15=0.09

整理すると
ABC=0.27 ACB=0.19 BAC=0.15
BCA=0.15 CAB=0.15 CBA=0.09
となりました。(細かい計算間違えはあるかも？考え方はこれで良さそうです )
もっときれいな解法がありそうですが...

すいません
私はパソコン初心者でちょっとここで実験させてください。
添付の図は実験ですので回答に関係ありません。

回答No.4

momordica

＃１さんのおっしゃっていることが正しいです。
都合のいい答えを書いてもらったからと言って、あっさり納得しない方がいいですよ。
＃３さんの計算では確かに(2)は(1)と同じ答になりますが、＃１さんの指摘の通り、そもそも(1)は間違っています。

Cが2位になったとき、残りのパターンは、「Aが1位でBが3位」か「Aが3位でBが1位」の2通りです。
このとき、あなたや＃３さんの計算のやり方でいくと、
　Aが3位でなく1位になる確率　：　46/(46+24)
　Bが1位でなく3位になる確率　：　36/(30+34)
　BではなくAが1位になる確率　：　46/(46+30)
　AではなくBが3位になる確率　：　34/(24+34)
となりますが、実際はこれらはすべて同じ事象を表しているので、同じ確率にならなければいけません。
そうならないのは、このようにして掛け算で確率が計算できるという考え方そのものが間違っているからです。
このうちどれか一つが正しくて、それを選べばいいというわけではありません。
＃３さんは、単に結果が（1）と同じになるものを選んだにすぎず、それが正しいというわけではないのです。

実際は6つの場合の確率をそれぞれ
P(ABC), P(ACB), P(BAC), P(BCA), P(CAB), P(CBA)
などとおいて、連立方程式などによって求めなければいけません。
分かっている条件を式にすると、

(a)　P(ABC)+P(ACB)+P(BAC)+P(BCA)+P(CAB)+P(CBA)=1
(b)　P(ABC)+P(ACB)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =0.46
(c)　　　　　　　　　　　　P(BAC)+P(BCA)　　　　　　　　　　　 =0.30
(d)　　　　　　　　　　　　P(BAC)　　　　　　+P(CAB)　　　　　 =0.30
(e)　P(ABC)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 +P(CBA)=0.36

となります。C社が1位、2位になる確率については、A社、B社の確率から導けるので除いてあります。
ご覧のとおり、未知数6つに対して方程式が5つですから、これだけでは6つの場合の確率の組み合わせを
ただ一つに決定するのは無理だと思います。

お礼

この条件だけでは答が無限にあり、
一つの組み合わせになるには条件が足りない
ということですね。
ありがとうございます。

回答No.3

shiroha

考え（２）の計算が間違っていますね。
間違っていたところを[**]でカッコしてあります。

ＡＢＣ　0.36×46/(46+24)≒23.66％
ＡＣＢ　0.34×46/(46+[24])≒[ 22.34 ]％
ＢＡＣ　0.30×30/(30+[34])≒[ 14.06 ]％
ＢＣＡ　0.34×30/([30]+[34])≒[ 15.94 ]％
ＣＡＢ　0.30×24/([24]+[42])≒[ 10.91 ]％
ＣＢＡ　0.36×24/([24]+[42])≒[ 13.09 ]％
　　　　　　　　　　　　　　　合計100%です。

例えばACBは、Cが2位なので0.34はいいですね。
そして、Aが1位になるには、46/(46+24)です。
すなわち、Aが1位か3位のうち1位になる確率ですね。

同様に他も考えてみて下さい。

お礼

> すなわち、Aが1位か3位のうち1位になる確率ですね。
１位にＡが入るのかＣが入るのか　と考えてしまいました。
おかげさまですっきりしました。どうもありがとうございました。

回答No.2

keyuki

考えられていることの間違いについてはよく分かりません。違和感はありますが…。

素人ですが自分の考えを書かせてもらいます。
３位になる確率が、それぞれの人について求められますよね。（１００－(1)－(2)）
例えばBCAならば、0.3×0.34×0.24＝
で求められないでしょうか？

お礼

深夜にもかかわらず　どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

例えば「考え1」で「B が 2位になる確率」を求めると36.75% くらいとなり与えられた 36% を越えてしまっています. なぜかというと, ABC を求めるときに使った 36% とか 34% は「A が 1位になる」という前提における条件付き確率ではないからです. 36% には CBA になる場合と ABC になる場合が含まれてますね.
で正しくは P(ABC), P(ACB) などを全て変数だと思って
P(ABC)+P(ACB) = 46%
P(BAC)+P(CAB) = 30%
などの方程式を立てて解く... のですが, どうも解けないような....

お礼

深夜にもかかわらず　どうもありがとうございました。