リーマンのゼータ関数についてですが、

質問

リーマンのゼータ関数についてですが、
ζ(-1)=1+2+3+4+・・・= -1/12
に何故なるのかを知り合いの高校生に聞かれました。
解析接続などの手法を用いないで（または無視して）、示せると聞いたのですが、
ご存知の方は手法もしくは参考URLを教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

ζ(z)についての関数等式によると
ζ(z)Γ(z/2)＝π^(z-1/2)ζ(1-z)Γ((1-z)/2)
が成り立つ事が知られている。

そこでz＝-1と置いてみると
ζ(-1)＝π^(-3/2)・ζ(2)・Γ(1)/Γ(-1/2)
　　＝(π^2)/6・1/(π^(3/2)・(-2π^(1/2)))
　　＝－1/12
・・・が出てくるようである。
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Γ(-n+1/2)=(-4)^n・n!(√π)/(2n)!を用いている。
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お礼

回答していただきありがとうございます。

そのような関係式があるのは知りませんでした。
調べて検証してみます。

回答No.3

alice_44

ζ 関数の反転公式は、そこに現れる
ζ(s) と ζ(-s) の内、常に少なくとも一方は
級数表示が発散するようになっていますから、
ζ の解析接続を前提にしなければ、
級数表示だけでは、全く意味を持たない式です。

で、
質問の 1 + 2 + 3 + … は、どうかと言うと、
解析接続以前に s = -1 を代入してしまわないと、
この式形にはなりません。
解析接続してから s = -1 を代入するのならば、
ζ(-1) としか書きようがないはず…
という意味で、質問の式は、マズイのです。

お礼

回答していただきありがとうございます。

そして、丁寧な補足までつけていただき、
ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

示せません。
その式は、間違っていますから。

ζ(-1) = -1/12 は、正しい式ですが、
これは、1 + 2 + 3 + … とは等しくありません。
ζ(s) = Σ[n=1→∞] 1/n~s が収束するのは、
複素数 s の実部が 1 より大きい場合だけです。
それ以外の s では、右辺の級数は発散します。

解析接続を使っても、Re s ＞ 1 での級数表示と
ζ との間に関連がつけられるだけで、
発散級数が収束するようになる訳ではありませんから、
s = -1 を代入することはできません。

数論に取り組むときも、解析学的に荒唐無稽に
ならないように、よく考えましょう。
どちらも、数学ですから、整合性はとれていないと。

お礼

回答していただきありがとうございます。

数学ってとてもむずかしいですね。
解析学的に荒唐無稽にならないように、
よく考えてみます。