数学IAIIBの範囲で・・・

質問

正三角形ABCを考えるA（6,8）　重心G（0,0）
Bのy座標>Cのy座標

（1）直線BCの方程式を求めよ
（2）点B点Cの座標を求めよ

テストに出てきた問題、で正解したのですが
予習した変換を使って強引に解いてしまいました。
テストの対象者はIIICはまだ習っていないのでIAIIBの範囲での解法を教えてください。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。
途中計算の表記ミスもありましたので、計算過程を以下に。

＞(x, y)= (-3, 4)+ k(4, -3)= (4k-3, -3k+4)
＞kを消去すると、直線の方程式が得られます。
(x, y)= (-3, -4)+ k(4, -3)= (4k-3, -3k-4)が正しい式です。
x= 4k-3…(1式), y= -3k-4…(2式)として、(1式)×3+(2式)×4を計算すると、
3x+ 4y= -25 すなわち 3x+ 4y+ 25= 0となります。

点Bや点Cの座標も、(4k-3, -3k-4)と表すことができます。
そして、kの値が求まれば座標が求まることになります。

三平方の定理を用いると、AM= 15、BM= CM= 5√3であることがわかります。
そして、BM↑を求めると、BM↑= (-4k, 3k)となります。
ベクトルの大きさを考えて、
BM^2= (-4k)^2+ (3k)^2= (5√3)^2
より、k=±√3となります。

答えが 2とおりとなるのは、点Bと点Cそれぞれでの値を含んでいるからです。
y座標の条件があるので、その条件に合わせると
k= √3のときは、点C (4√3-3, -3√3-4)
k= -√3のときは、点C (-4√3-3, 3√3-4)
となります。

あくまでも、こういう解き方ということですので効率が悪いところはご容赦ください。

お礼

>あくまでも、こういう解き方ということですので効率が悪いところはご容赦ください。

わかりました。
丁寧にありがとうございました。

回答No.4

to3472006

to3472006です

添付ファイルをを一つ忘れました。すみません

お礼

ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.3

to3472006

とりあえず（1）は添付ファイルのようにしてできます。

ただこの方法で行くと、（2）が厳しそうです。

ベクトルをうまく利用するときれいに解けるのでしょうが、

あいにく私はベクトルが苦手ですので・・・

無責任ですいません

回答No.2

naniwacchi

数学IAIIBだと、次のような解答もあります。

#1さんが書かれているように、
・直線AGと直線BCは直交し
・線分AG：線分GM＝2：1（点Mは線分BCの中点）
となることをベクトルの言葉にします。

AG↑= (-6, -8)ですから、BC↑=（p, q）とおくと
(-6, -8)・(p, q)= 0
-6p= 8q
BC↑= p*(4, -3)（直線BCの方向ベクトルは、(4, -3)と表される）

次に、AG↑= (-6, -8)より GM↑= (-3, -4)、点Gは原点なので点Mは (-3, -4)
すると、直線BC上の点は GM↑+ k(4, -3)と表せて、
(x, y)= (-3, 4)+ k(4, -3)= (4k-3, -3k+4)
kを消去すると、直線の方程式が得られます。

点Bか点Cのどちらかの座標が求まれば、BM↑＝MC↑よりもう片方の座標がわかります。
・AB↑とAM↑のなす角が 30度であること
・BA↑とBM↑のなす角が 60度であること
・三平方の定理より BMの長さを求め、ベクトルの大きさと比較する
これらのいずれかを使うことで求めることができます。

ほかにも複素平面を用いる方法もあります。
いろいろ考えてみてください。

補足

＞AG↑= (-6, -8)ですから、BC↑=（p, q）とおくと
(-6, -8)・(p, q)= 0
-6p= 8q

ここまではわかったのですが次がわかりません。
＞BC↑= p*(4, -3)（直線BCの方向ベクトルは、(4, -3)と表される）
BC↑＝（ｐ，-3/4ｐ）　｜BC↑｜＝10√3
で計算するとｐ＝8√3となり
回答してくださったようになりません。

ベクトルもしっかり理解したいのでぜひ教えてください。

回答No.1

gohtraw

（１）正三角形ですから、ＡＧ（の延長）とＢＣは直交します。また、重心は中線を２：１に内分するのでＧとＢＣの距離は０．５＊√（６＾２＋８＾２）です。
（２）ＢおよびＣは（１）で求めた直線上にあり、重心との距離が√（６＾２＋８＾２）であるような点です。

お礼

円を使って解くんですね！
ありがとうございました。