3で割った余り

質問

高校数学問題集で「2^2006を3で割った余りはいくつか」という問題があり、解答頁にはただ「1」とだけありました。
どうも2^(偶数)を3で割ると1となり、2^(奇数)を3で割ると2となるようなのですが、どうやってそれを証明すればいいのか分かりません。
また、もっとすっきりした解法はないものでしょうか？
(なお2^2は「２の2乗」という意味です)

回答No.4

yoikagari · ベストアンサー

二項定理を用いると良いでしょう

2^n=(3-1)^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n

3^n,3^(n-1)*(-1)*n,・・・,3*(-1)^(n-1)は3で割り切れるので、3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)は3で割り切れる。

よって
2^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n=3×(整数)＋(-1)^nとなる。

したがって

nが偶数のとき(-1)^n=1だから
2^n=3×(整数)＋1

nが奇数のとき(-1)^n=-1だから
2^n=3×(整数)－1=3×(整数)－3＋2=3×{(整数)-1}＋2=3×(整数)＋2

となるので
「2^(偶数)を3で割ると1となり、2^(奇数)を3で割ると2となる」とあんることがわかります。

お礼

No2と異なった二項定理の利用ですね。
回答ありがとうございます。

回答No.3

mayan99

2=(3-1)

(3-1)^2n →　・・・・・・+1　（最後は+1になる)
(3-1)^(2n-1) →・・・・・-1　（最後は-1になる)

最後の項以外は３の倍数だから　余りは最後の項で
決まる。

でどうでしょう。

お礼

No2とは異なる二項定理の利用ですね。
回答ありがとうございました。

回答No.2

gura_

偶数=2*nとすると、
2^(偶数)=4^n=(3+1)^n=3^n+n*3^(n-1)+・・・+n*3*1^(n-1)+1^n
従って、3で割ると1が余る。
2^(奇数)=2^(偶数)*2
2^(偶数)を3で割ると1が余るから、その2倍で2が余る。

お礼

>>…=(3+1)^n=3^n+n*3^(n-1)+・・・+n*3*1^(n-1)+1^n

なるほど、二項定理を利用する手もあったわけですね。気付きませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#29127

数学はさっぱりなのですが、思いついたので、

1) 1の時
2) nの時、
3) n+1の時なりたてば、どんなnでも成り立つ、ってなかった
でしょうか。

一つ目の 2^偶数は、偶数を 2nで表して、3で割ったあまりが1は
3*m+1で表して

2^(2n) = 3*m + 1

ここで、

1) n=1の時

2^(2*1) = 4 = 3 + 1 (あまりが1)

2) n+1の時

2^(2*(n+1)) = 2^(2n) * 2^2 = 2^(2n) * 4 = (3*m + 1) * (3 + 1)
= (3*m + 1) * 3 + (3*m + 1)*1
= [3で割り切れる値 (3*m+1)*3 ] + (3*m + 1)

なので、 1, n, n+1の時すべて 3で割るとあまりが1です。

証明の書き方などは忘れているので、参考書を見て下さい。

お礼

数学的帰納法を使うんですね。
回答ありがとうございました。