【台車に載せたボールの運動方程式について質問です。】

質問

【台車に載せたボールの運動方程式について質問です。】

滑らかな床の上に置いた質量Ｍの台車の上に、
半径r、質量mのボール(バスケットボールなど十分に摩擦がある球体)を置きます。
台車とボールの間の摩擦係数はμとします。
この台車は、X-Y平面上を自由に移動できるとし、X方向への入力をFx、Y方向への入力をFyとします。

このとき、
?ボールが完全に静止している時から、台車を動かした場合
?ボールがコマのように垂直軸(Z軸)周りを初速度ωで回転している場合で、台車を動かした場合

のそれぞれにおいて、運動方程式をたててボールと台車の挙動を考えたいのです。

この様な物理モデルのシミュレーションを作っているのですが、
運動方程式を作る段階で、ちょっとわからなくなってしまいました。。

ご教授をお願いいたします。

回答No.2

yokkun831

ごめんなさい。わかりやすくしようと思い、用意した図を添付するのを忘れましたので、あらためて追加させてください。

お礼

ご丁寧に図まで添付していただき、本当にありがとうございます。

回答No.1

yokkun831

>?ボールが完全に静止している時から、台車を動かした場合

簡単のため、1次元で考えたものを示します。
台車が外から受ける力F、台車とボールの間の摩擦力f、ボールおよび台車の変位をx,Xとおくと、
運動方程式は

台　車：MX'' = F - f　　　(1)
ボール：mx'' = f　　　　　 (2)

となります。ここで、「''」は時間による２階微分を示します。
また、ボールの慣性モーメントI、重心まわりの角速度の大きさをΩとすると、

ボールの重心まわりの回転の運動方程式：IΩ' = fr　　(3)

ボールがすべることなく台車上をころがるならば

X'' - x'' = rΩ'　　∴　Ω' = (X'' - x'')/r　　　(4)

が成立します。これらを連立させればよいと思います。一般には変位とその微分、力などはすべてベクトルになります。成分ごとにたてることになりますね。角速度、角加速度ベクトルの扱いが難しいですが。

簡単な例として、ボールが密度一様な球であれば、I = 2/5・mr^2 ですから
(3)(4)より、

f = 2/5・m(X'' - x'')

と摩擦力は双方の重心加速度で決まります。これを(2)に代入すると

X'' = 7/2・x''　　(5)

となります。これは、ボールが台車上ですべることなくころがるという束縛条件を示しています。
(1)+(2)より

MX'' + mx'' = F

(5)を代入して、

x'' = 2F/(7M + 2m)

を得ます。

>?ボールがコマのように垂直軸(Z軸)周りを初速度ωで回転している場合で、台車を動かした場合

これはかなり厳しいと思います。ボールを剛体球として扱うと台車とは点接触になりますから、鉛直軸まわりの回転によってトルクを及ぼし合うことができません。しかし、目的はボールの自転によって軌道が曲がることを記述したいのですよね？トルクを及ぼし合うためには面接触が必要で、そうすると自転によってボールはすべっていることになり、上のような考察はオシャカになります。それでよいのならまずは、接触によって及ぼし合うトルクのモデルを考えることになりそうです。

補足

>ボールがコマのように垂直軸(Z軸)周りを初速度ωで回転している場合で、台車を動かした場合
これはかなり厳しいと思います。ボールを剛体球として扱うと台車とは点接触になりますから、鉛直軸まわりの回転によってトルクを及ぼし合うことができません。しかし、目的はボールの自転によって軌道が曲がることを記述したいのですよね？トルクを及ぼし合うためには面接触が必要で、そうすると自転によってボールはすべっていることになり、上のような考察はオシャカになります。それでよいのならまずは、接触によって及ぼし合うトルクのモデルを考えることになりそうです。

すみません、説明が不足していました。
私も最初は点接触モデルでやっていたのですがそれだと仰る通りトルクを及ぼすことができないので、
接触面に関しては面接触状態にあるとしての力学モデルを考えています。