命題の証明についての質問です。

質問

命題の証明についての質問です。
スカラー場f:Ω→Rおよびベクトル場X:Ω→R^3に対して、
div(fX)=(∇f)･X+fdivX.
rot(fX)=(∇f)×X+frotX.
rot(∇f)=0.
div(rotX)=0.
div(∇f)=Δf.
が成立する。
これの証明なのですが、自分の分野と違うのでよくわかりません。
全部じゃなくていいので、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

内積・と外積×の演算規則はＯＫでしょうか？（ふつうのベクトルの範囲で十分です）。また微分演算子において、かける事は微分を繰り返す事だという事はＯＫでしょうか？。例えば、div(∇f)は2階偏微分の組み合わせになります。さらに、偏微分の順序交換はＯＫでしょうか？。これらがわかっていれば、∇＝(∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z)，kをスカラー，aとbを普通のベクトルとして、

　　rot(∇f)＝∇×∇f　→　a×ka＝0
　　div(rotＸ)＝∇・(∇×Ｘ)　→　a・(a×b)＝0
　　div(∇f)＝∇・∇f　→　a・ka＝(|a|^2)k

という事になるので、明らかです。
　残り2つは、いわば積の微分公式です。特にrotは成分を混ぜるので、積の微分公式である事を意識しながら整理して、成分で頑張った方が得策です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

偏微分を頑張ればいいんだったかな.