二重積分の問題なのですが

質問

∬1/(x^3+1)dxdy
0≦y≦1,√y≦x≦1
という問題ですが、1/(x^3+1)をxについて解くにはどうすればいいかわかりません？
部分分数を使うのでしょうか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3さんの言われるように積分領域を図示することで逐次積分の範囲を決めることが容易になります。
描いてみて下さい（添付図参照）。

そうすると求める積分は、逐次積分の式に書き換えられる。
(1)先にxで積分する方法
I=∫[0,1] {∫[√y,1] 1/(1+x^3) dx} dy
=∫[0,1] {(1/3)∫[√y,1] [1/(1+x)-(x-2)/(x^2-x+1)] dx} dy
=(1/3)∫[0,1] {ln(2)-ln(1+√y)-(1/2)∫[√y,1] (2x-1-3)/(x^2-x+1) dx} dy
=(1/3)∫[0,1] {ln(2)-ln(1+√y)
-(1/2)[-ln(y-(√y)+1)
-(2√3)(tan^(-1)(1/√3)-tan^(-1)((2(√y)-1)/√3))] } dy
=(1/3)∫[0,1] {ln(2)-ln(1+√y)+(1/2)ln(y-(√y)+1)
+(√3)((π/6)-tan^(-1)((2(√y)-1)/√3))] } dy
= ... (途中省略)
=(1/3)ln(2)

(2)先にyで積分する方法(#2さんの積分順序)
I=∫[0,1] {1/(1+x^3)} {∫[0,x^2] 1 dy} dx
=∫[0,1] {x^2/(1+x^3)} dx
=(1/3){ln(1+x^3)|(x=1) -ln(1+x^3)|(x=0)}
=(1/3)ln(2)

(1)と同じ積分結果になりました。積分も簡単ですね。

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧な解答で理解できました。
助かりました。

回答No.3

Tacosan

積分範囲を図示してみればいいのでは?

お礼

やってみます。

回答No.2

Ae610

積分順序を考えて、より積分がし易い順序で計算した方がやりやすいと思う。
∬1/(x^3+1)dxdy
＝∫[0,1]dx∫[0,x^2]dy/(x^3+1)
でやる方が簡単では・・・？

補足

積分順序の変更のやり方がわかりません。
どうやってやるのですか？

回答No.1

4028

部分分数分解

ｘ^3＋１＝(ｘ＋１)(ｘ^2－ｘ＋１)より

１/(ｘ^3＋１)
＝Ａ/(ｘ＋１) ＋ (Ｂｘ＋Ｃ)/(ｘ^2－ｘ＋１)

これを解いて
(Ｂｘ＋Ｃ)/(ｘ^2－ｘ＋１)
をさらに分けたりすれば積分できます。