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質問

校庭に、南北の方向に１本の白線が引いてある。
ある人が白い線上のA点から西へ５メートルのB点にいる。
そこで銅貨を投げて、表がでたときは東へ1メートル進み、裏がでたときは北へ1メートル進む。
この動作を白線に進むまで続ける。

(1)
A点からｎメートル北の点に達する確率pnは

(2)
Pnを最大にするnの値は

いろいろ考えたのですがぜんぜんわかりません。
分かるはご親切にお願いします

回答No.3

tancoro

回答します。
(1)
まず、nメートル北の地点に到達する時は、必ず n+5 回コインを投げることになります。(なぜなら、西、南の方向へ戻ることはないから。）
また、表、裏の出現確立はそれぞれ 1/2なので、nメートル北地点への特定の１ルートが出現する確立は、(1/2)^(n+5) となります。
よって、求める確立Pnは、
Pn = (1/2)^(n+5) * [nメートル北地点へのルート数]
で求まります。

ここで、nメートル北の地点に到達するのは、何パターンあるか考えてみましょう。
0メートル : 表が4回と裏が0回出現し、最後に表がでる。つまり、4C0 通りある。
1メートル : 表が4回と裏が1回出現し、最後に表がでる。つまり、5C1 通りある。
2メートル : 表が4回と裏が2回出現し、最後に表がでる。つまり、6C2 通りある。
nメートル : 表が4回と裏がn回出現し、最後に表がでる。つまり、(4+n)Cn 通りある。

これで、答えが求まります。
Pn = (1/2)^(n+5) * (4+n)Cn
= (1/2)^(n+5) * (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)/4!

(2)
(1)より、Pn、P(n+1)は次のようになる。
Pn = (1/2)^(n+5) * (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)/4!
P(n+1) = (1/2)^(n+6) * (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)/4!

上記２式から、
P(n+1)/Pn = (1/2)(n+5)/(n+1)

ここで、P(n+1)/Pn >= 1 を求めてみる。
(1/2)(n+5)/(n+1) >= 1より、n <= 3 となる。
また、nが3の時に等式(=)を満たす。つまり、P4/P3 = 1。

この結果から、P0,P1,P2,P3と増加して、P3とP4で最大値を取り、P5からは減少していくと言える。

回答No.2

ticky

こんにちは。

（１）は、白線に達したときに、A点からnメートル北にいる確率ですよね。

ここで、横５マス、縦無限な方眼を考えてみます。
左隅を原点(0,0)とする、１マス分の長さが１の座標をとります。
白線に達する直前は、白線よりも１メートル西にいますから、
この方眼上では右端(5,y)に達する直前は必ず(4,y)にいます。（ここで、n=yです。）

この、(4,y)に達するのは、何通りあるのかを考えればよいことになります。

これは、東へ４回北へn回進むのを、(n+4)回から選ぶことになるので、(n+4)!/(n!4!)です。

だからpnは
pn＝（(1/2)^n＊(1/2)^4）＊（(n+4)!/n!4'）＊(1/2)
となります。

（２）は、
pnとp(n-1)の関係から求めるのが適当ではないかと思います。

pn/p(n-1)を計算してみますと、
(1/2)*（(n+4)/n）・・・＊になります。

pm＝(1/2)*（(n+4)/n）＊p(n-1)ですから、
＊が１より小さくなると、pnは減っていきます。
だから、＊が１より大きくなる最大のnを求めれよいので、n=4が答えになります。

あんまり自信はないですが、
何かあれば補足してください。

回答No.1

kony0

(1)テーマは負の２項分布です。
　まず、適当に東に「４」メートル、北にｎメートル進み・・・
　最後に、東に進めばOKです。

「まず」の部分は、２項定理（独立試行）で計算できます。

(2)P(n+1)/P(n)と１の大小関係や、P(n+1)-P(n)の正負関係を調べればよいです。