ヘロン！？

質問

問）
三辺の長さが相異なる自然数である三角形について考える。この三角形の三辺の長さをa,b,c(a<b<c)とし、三角形の周の長さをl（エル）とする。また、三角形の面積をSとする。

（１） この三角形の最も大きい角の大きさをθとするとき、cosθの値をa,b,cを用いて表せ。
（２） 上の（１）を用いて、次の関係式が成り立つことを示せ。
　　　　　　　　　16S^2=l(l-2a)(l-2b)(l-2c)
（３） Sが自然数であるとき、lは偶数であることを示せ。
（４） S=6となる組（a,b,c）を求めよ。
（５） Sの値が互いに異なる２つの素数の積になるのは、S=6の場合に限ることを示せ。

（３）から全然わからないので解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi

#1です。
あけましておめでとうございます。

回答を作っていく過程で、考えていたことを書いておきます。
というのも、いきなりあんな回答が書けているわけではなく、試行錯誤をいろいろしています。
考え方・解き方のヒントにもなるかとも思ったので、書いておきます。
再び、長文となってしまいますが、参考になれば幸いです。

(3) これはあまり考えることなしに、書いています。
ちなみに、ヘロンの公式の lは l= 1/2* (a+ b+ c)ですね。

(4)
はじめは、そのまま S= 6を代入し素因数分解していました。
3^2* 2^6= l(l- 2a)(l- 2b)(l- 2c)

a＜ b＜ cより l＞ l- 2a＞ l- 2b＞ l- 2cの大小関係が出てくるので、これを満たすように素因数分解を探っていきます。
ところが、「2」が邪魔（6個も掛け合わさっている）になってきました。
(3)の証明から、右辺の各項は偶数ってわかってるんだから、「偶数」と書いてしまえ！
ということで、2L, 2A, 2B, 2Cの置き換えに至っています。

置き換えしたことへの「代償」として、L, A, B, Cの関係をきちんと整理しておきます。
たとえば、l- 2a= 2A, l- 2b= 2B, l- 2c= 2Cの辺々を足しあわせて、
l= 2Lを代入すると、L= A+ B+ Cの関係式が得られます。

この置き換えで、もとの式は S^2= L* A* B* Cとなります。
いくつかの場合について、具体的に書くと、
・L= 36とすると、A* B* C= 1で A= B= C= 1となるため不適
・L= 18とすると、A* B* C= 2で (A, B, C)= (2, 1, 1)となり B＞ Cに反することになり不適
以下、この要領で絞っていきます。

最後に、もとの a, b, cに戻すのを忘れないようにしてください。

(5)
「互いに異なる2つの素数」とした中で、最終的には「2と 3」という組み合わせしか残らないということを示すという問題です。

最初は、「背理法」を考えました。
ただ、これも単純ではありません。
(i) p= 2, q＞5の場合（3が含まれない場合）
(II) 3≦ p＜ qの場合 （2が含まれない＆ 2も 3も含まれない場合）

「2」という素数は、素数の中で「唯一の偶数」です。
また、「すぐ隣に次の素数(3)がある唯一の素数」でもあります。（あとの素数は奇数なので、すぐ隣には現れない。）
ですので、ある意味「特別扱い」しないといけない場合もあります。
ここでは、そのようなことも意識として働いています。

(i)のとき
2^2* p^2= L* A* B* C

(L, A, B, C)の組み合わせを考えてみると
(p^2, 2, 2, 1)や (p, p, 4, 1)は不適、(2p, p, 2, 1)が適するということになります。
そして、L= A+ B+ Cへ代入してみると
2p= p+ 3
p= 3（！）

p＞ 5としたはずなのに、p= 3となってしまいました。

(ii) 3≦ p＜ qのとき
p^2* q^2= L* A* B* C

(q^2, p^2, 1, 1)や (q^2, p, p, 1)などは不適、(pq, q, p, 1)が適していることになります。
先と同じように代入すると
pq= p+ q+ 1
pq- p- q= 1
(p- 1)(q- 1)= 2

p, qは 3より大きい自然数ですから、p- 1= 1, q- 1= 2となります。（整数問題でよくある形です）
つまり、p= 2, q= 3となってしまいました（！）。

ということは、最初から 2≦ p＜ qとおいてしまえば、
背理法など使わなくとも導かれることがわかりました。
それを改めて書き直している内容が、先の回答となっています。
（結果的に、「素数 2」の特別扱いは不要でした。）

回答No.1

naniwacchi

以下、長くなりますが容赦ください。

(3)は、前の小問に関係なく示すことができます。

(3) lは偶数であること。
もし、lが奇数だ仮定すると、右辺はどうなりますか？
2a, 2b, 2cは明らかに偶数ですね。
「矛盾」がでてきます。

(4) S= 6となる (a, b, c)の組
・右辺の各項は偶数であることがわかっているので、
l= 2L, l- 2a= 2A, l- 2b= 2B, l- 2c= 2Cとでもおいてしまいましょう。
すると、もとの式は S^2= L* A* B* Cとなります。

・また、大文字でおいた文字の間には、次の関係式が成り立ちます。（計算で確認できます）
L= A+ B+ C
L≧ 3（l= a+ b+ cであり、1≦ a＜ b＜ cを用いれば）
L＞ A＞ B＞ C

S= 6を代入してみると、もとの式は次のようになります。
3^2* 2^2= L* A* B* C

Lの候補としては、L= 36, 18, 12, 9, 6, 3が挙げられます（36の約数で、3以上のもの）
すると、A* B* Cの候補も決まりますが、L＞ A＞ B＞ Cの大小関係を満たすものは 1つしか出てきません。

(5) S= 6の場合に限られることを示す。
「Sの値が互いに異なる2つの素数の積」となる場合として、
S= p* q（2≦ p＜ q）としてみましょう。
すると、上の(4)と同様にして
p^2* q^2= L* A* B* C

と表すことができます。
L＞ A＞ B＞ Cを満たすような大小関係は、この場合も 1とおりだけしかでてきません。
さらに、L= A+ B+ Cの関係式があるので、これに適用してみると・・・