#1です。
あけましておめでとうございます。
回答を作っていく過程で、考えていたことを書いておきます。
というのも、いきなりあんな回答が書けているわけではなく、試行錯誤をいろいろしています。
考え方・解き方のヒントにもなるかとも思ったので、書いておきます。
再び、長文となってしまいますが、参考になれば幸いです。
(3) これはあまり考えることなしに、書いています。
ちなみに、ヘロンの公式の lは l= 1/2* (a+ b+ c)ですね。
(4)
はじめは、そのまま S= 6を代入し素因数分解していました。
3^2* 2^6= l(l- 2a)(l- 2b)(l- 2c)
a＜ b＜ cより l＞ l- 2a＞ l- 2b＞ l- 2cの大小関係が出てくるので、これを満たすように素因数分解を探っていきます。
ところが、「2」が邪魔（6個も掛け合わさっている）になってきました。
(3)の証明から、右辺の各項は偶数ってわかってるんだから、「偶数」と書いてしまえ！
ということで、2L, 2A, 2B, 2Cの置き換えに至っています。
置き換えしたことへの「代償」として、L, A, B, Cの関係をきちんと整理しておきます。
たとえば、l- 2a= 2A, l- 2b= 2B, l- 2c= 2Cの辺々を足しあわせて、
l= 2Lを代入すると、L= A+ B+ Cの関係式が得られます。
この置き換えで、もとの式は S^2= L* A* B* Cとなります。
いくつかの場合について、具体的に書くと、
・L= 36とすると、A* B* C= 1で A= B= C= 1となるため不適
・L= 18とすると、A* B* C= 2で (A, B, C)= (2, 1, 1)となり B＞ Cに反することになり不適
以下、この要領で絞っていきます。
最後に、もとの a, b, cに戻すのを忘れないようにしてください。
(5)
「互いに異なる2つの素数」とした中で、最終的には「2と 3」という組み合わせしか残らないということを示すという問題です。
最初は、「背理法」を考えました。
ただ、これも単純ではありません。
(i) p= 2, q＞5の場合（3が含まれない場合）
(II) 3≦ p＜ qの場合 （2が含まれない＆ 2も 3も含まれない場合）
「2」という素数は、素数の中で「唯一の偶数」です。
また、「すぐ隣に次の素数(3)がある唯一の素数」でもあります。（あとの素数は奇数なので、すぐ隣には現れない。）
ですので、ある意味「特別扱い」しないといけない場合もあります。
ここでは、そのようなことも意識として働いています。
(i)のとき
2^2* p^2= L* A* B* C
(L, A, B, C)の組み合わせを考えてみると
(p^2, 2, 2, 1)や (p, p, 4, 1)は不適、(2p, p, 2, 1)が適するということになります。
そして、L= A+ B+ Cへ代入してみると
2p= p+ 3
p= 3（！）
p＞ 5としたはずなのに、p= 3となってしまいました。
(ii) 3≦ p＜ qのとき
p^2* q^2= L* A* B* C
(q^2, p^2, 1, 1)や (q^2, p, p, 1)などは不適、(pq, q, p, 1)が適していることになります。
先と同じように代入すると
pq= p+ q+ 1
pq- p- q= 1
(p- 1)(q- 1)= 2
p, qは 3より大きい自然数ですから、p- 1= 1, q- 1= 2となります。（整数問題でよくある形です）
つまり、p= 2, q= 3となってしまいました（！）。
ということは、最初から 2≦ p＜ qとおいてしまえば、
背理法など使わなくとも導かれることがわかりました。
それを改めて書き直している内容が、先の回答となっています。
（結果的に、「素数 2」の特別扱いは不要でした。）
