積分

質問

（２）D={（x,y）|0≦x≦1、ｘ＾３≦ｙ≦ｘ}

∬D　ｘ＾２ sinπydxdy

ってどうやるんですか？？

領域の図がどうなるのかも、言葉で書いていただけると助かります…。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#3,#4です。

A#4の補足質問の回答

>(x^2)cos(πx^3)を積分するのって、部分積分をやるわけじゃないですか。
>その際に、cos(πx^3）を積分すると思うのですが、どうやって良いか分からないんです・・・。
積分の基本的なことがわかって見えないようですね。
cos(πx^3）の積分は出来なくても
(x^2)cos(πx^3）の積分は合成関数の積分ということを見抜ければ
簡単に積分できるのです。(x^2)cos(πx^3）の積分は部分積分などしたら
収拾できなくなります。
(x^2)cos(πx^3）
=(1/π)(πx^3)'*cos(πx^3)
=(1/π){cos(πx^3)}'
∫(x^2)cos(πx^3)dx=(1/π)cos(πx^3)+C

合成関数の積分公式
∫g'(x)f(g(x))dx=f(g(x))+C
微分公式の　{f(g(x))}'=g'(x)*f'(g(x))
とあわせてしっかり覚えて置いて下さい。

したがって
>∫[0～1](x^2)cos(πx^3)＝
(1/π)[cos(πx^3)] [0～1]＝(1/π)(cosπ-cos0)=-2/π

回答No.4

info22

#3です。

A#3の補足の質問の回答
>式の３行目...ってあっていますか？？
符号が逆でした。

3行目は、正しくは
=∫[0,1] (x^2)(-1/π){cos(πx)-cos(πx^3)}dx
です。

従って4行目以降の式の符号が以降のように全部反転します。

=-(1/π)∫[0,1] {(x^2)cos(πx)-(x^2)cos(πx^3)}dx
=-(1/π)∫[0,1] (x^2)cos(πx)dx
+(1/π)∫[0,1] (x^2)cos(πx^3)dx
=-(1/π){1/(π^3)}[{(πx)^2-2}sin(πx)+2xπcos(πx)] [0,1]
+(1/π)[{1/(3π)}sin(πx^3)] [0,1]
=-(1/π^4)(-2π)
=2/π^3

>あと、
>=(1/π)∫[0,1] (x^2)cos(πx)dx
>=(1/π){1/(π^3)}[{(πx)^2-2}sin(πx)+2xπcos(πx)] [0,1]
>もよくわからないのですが…。

これは、計算が長くなるので、不定積分の公式を利用していますが、
x^2の次数が下がるように部分積分を繰り返しながら積分の上下限を代入していけば比較的簡単に積分できます。

分からない場合は計算過程を補足に書いて行き詰って分からない箇所を聞いてください。

補足

x^2cos(πx^3)を積分するのって、部分積分をやるわけじゃないですか。
その際に、cos（πｘ＾３）を積分すると思うのですが、どうやって良いか分からないんです・・・。
∫[０～１]ｘ＾２cos(πｘ＾３)＝[１／（３πｘ＾３）＊ｘ＾２sin(πｘ＾３)][０～１]ー∫[０～１]２ｘ＊１/（３πｘ＾３）＊sin(πｘ＾３)

って間違ってますよね？

回答No.3

info22

#1さんの回答のやり方で良いと思います。
#2さんの回答の中側の積分範囲
>（[ ]の範囲はx≦y≦x^3）
はケアレスミスと思いますが上限と下限が逆ですね。
問題に「x^3≦y≦x}」と書いてありますね。

>∬D (x^2)sin(πy)dxdy
=∫[0,1] (x^2)[∫[x^3,x] sin(πy)dy}dx
=∫[0,1] (x^2)(-1/π){cos(πx^3)-cos(πx)}dx
=(1/π)∫[0,1] {(x^2)cos(πx)-(x^2)cos(πx^3)}dx
=(1/π)∫[0,1] (x^2)cos(πx)dx
-(1/π)∫[0,1] (x^2)cos(πx^3)dx
=(1/π){1/(π^3)}[{(πx)^2-2}sin(πx)+2xπcos(πx)] [0,1]
-(1/π)[{1/(3π)}sin(πx^3)] [0,1]
=(1/π^4)(-2π)
=-2/π^3

この↑計算が合っているかは、自分でフォローして計算しなおして
確認してみて下さい。

補足

式の３行目
=∫[0,1] (x^2)(-1/π){cos(πx^3)-cos(πx)}dx
ってあっていますか??
あと、
=(1/π){1/(π^3)}[{(πx)^2-2}sin(πx)+2xπcos(πx)] [0,1]
もよくわからないのですが…。
申し訳ないのですが、もう１回教えてください。

回答No.2

rotationA

sin(πy) と書いた方がいいですよ。

(与式)
= ∫{∫x^2 ×sin(πy) dy}dx

まず{ }の中身について計算(yについての積分)します。このときxは定数とする。xを定数として扱うので、x^2をyの積分からはずして、

(与式)
= ∫{x^2 ×[-(1/π)×cos(πy)]}dx
= ∫{-(x^2/π) ×[cos(πy)]}dx
（[ ]の範囲はx≦y≦x^3）
= ∫{-(x^2/π) ×(cos(π×x^3)-cos(π×x))}dx

同様に、xについて積分します。たぶん部分積分を二回適用するパターンです。

領域Dは、0≦x≦1においてy=xとy=x^3の曲線によって囲われる領域です。

回答No.1

kopanda116

領域Dをまず理解してください。

まず、y=x^3 と　y=x を0<=x<=1の領域で書いてみてください。
その２つをグラフに描くと、領域ができるはずです。
（y=x^3　と　y=xの間の領域です）
それが領域Dです。

その領域で、x^2*sin(πy)を積分します。

yはxの関数になっているので、２重積分は、yをx^3からxまで積分します。それからxで0<=x<=1で積分してください。

教科書に載っているような簡単な積分になると思いますので、積分は省略しようかと思います。