羽ばたきにより軸にかかる力はどこから

質問

経験的な話しで恐縮ですが、ダンベルを両手に持って同時に素早く前後に動かすと身体が前後へ動くと思うのですが、この力はどこからやってきた物なのでしょうか。
また、その大きさは計算して求める事は可能でしょうか。

添付の図の説明です。
二重の軸になっており、中心軸と外側の軸との間にトルク（力）がかかるとします。
それぞれから伸びている棒は長さと質量が同じです。
中心軸は固定されていません。（宇宙空間にあると思ってください。）

高校物理レベルの知識しかありません。
インターネットで色々と調べたのですが分かりませんでした。
よろしくお願いします。

回答No.5

yokkun831 · ベストアンサー

>結局、No.1さんへの「回答への補足」で書いたように、棒を回転させようとする仕事をしているのかなと思ったのですが、そこから先が見えません。

これが正解です。２本の棒は，連結されて互いの運動を拘束しあっています。題意からすると，トルクは軸に組み込まれた動力のために生じているのですから，実質的な外力がなければ全体が受ける合力はゼロになるはずですね？　No.1さんが描かれた左向きの力が動力のトルクを生じさせた力とつりあうことになります。

この場合，この左向きの力はそれぞれの棒において逆向きのトルクを発生させています。だから，定トルクでも角速度は一定とならないわけです。剛体の回転は，回転の運動方程式によって解析する必要がありますので，ちょっと難しいかもしれませんね。

動力がなく慣性で回転するだけの場合について解析してみましたので，よかったらご覧ください。大学学部レベルの理論計算になります。

>http://www14.atwiki.jp/yokkun/?page=%E3%80%90%E8%A7%A3%E7%AD%94%E3%80%91%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%BB%B8%E9%80%A3%E7%B5%90%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%EF%BC%92%E6%9C%AC%E3%81%AE%E6%A3%92

お礼

高校レベルの物理の力では運動を解析するのは無理のようです。
しかし、色々とアドバイスをいただき何となくですが頭の整理がついてきました。
単純に思える運動も実はすごく複雑なのですね。

ありがとうございました。

回答No.4

yokkun831

アームを回転なり，往復運動なりさせるトルクが示されて，初期条件が示されれば力は計算できると思います。ただし，軸部分の質量が無視できてアームの連結だけとして考えるのならば，力を受ける実体はなくなってしまい，棒が軸で受けるトルクと抵抗のみで運動は決定するでしょう。このとき，棒は軸連結部分で相互に力を及ぼしあうということに他なりません。

ちなみに，回転の場合この系は摩擦が無視できるのなら，初期回転を与えるだけでいかなる動力もなしに動き続けます。動かし続けるには，トルクは摩擦抵抗とつりあうだけで十分です。また，重要なことは，このアームを等速回転させるには，トルクは変化しなければならないという点です。シミュレーションでは実は等速回転にはなっていません。軸のモーターをとりはらって慣性運動させても，運動はほとんどかわりませんでした。モーターは定回転ではなく，定トルクという設定のようです。

系の運動は，回転運動ですので，高校レベルの力学では解析できません。棒の慣性モーメントを考慮した，回転運動の方程式をたてる必要があります。ただし，棒を（軸にそなわった動力によって）一定の速さで回転させるだけならば，その運動は全体の重心が動かないということだけで決まってしまいます。この場合は単純に図形の問題になります。

補足

詳しい説明ありがとうございます。

シミュレーションでは連続回転をしていましたが、羽ばたきという運動は上下の棒が一直線になった後、逆向きのトルクを軸に加えることになるので、更に複雑な動きになるようですね。

中心軸が定トルク（一定の力が常にかかる）で考えると、棒の動き始めはゆっくりで上下の棒が一直線になった時点が最高速度になって、その後は中心軸に逆向きの力を加えて上下の棒を徐々に減速させて停止させるという動きを繰り返す事になります。

上下の棒には質量があり、それをトルク（回転軸から１ｍの地点での力と考えました）と棒の重心までの距離との関係（モーメント）で棒の重心にかかる力を求められるので、棒に対する角加速度が求まり、ｄｔ秒後の角度も求める事ができると思います。

しかし、これは軸が棒を動かすために行った仕事（＝棒が得た運動エネルギー）求めたことになり、実際には中心軸（関節）と棒とを含めた全体が動く事（仕事）になるので、すっきりしない物を感じて最初の質問（羽ばたきにより軸に・・・）になりました。

作用・反作用の理屈はわかるのですが、関節部分の質量をどう考えたら良いかが分からず、もし、関節部分の質量が棒に比べて１０分の１とかであれば、棒を動かす力の反作用で関節部分に１０倍の加速度が生じてしまう事になります。

結局、No.1さんへの「回答への補足」で書いたように、棒を回転させようとする仕事をしているのかなと思ったのですが、そこから先が見えません。

作用・反作用は中心軸と外側の軸との間でのみ作用していて、関節部分には「左向きの力」は存在しない？のでしょうか。

回答No.3

yokkun831

外力が無視できる場合に，始めに静止していた系の重心は動くことができません。これは全体の運動量の和がゼロであることと同値です。すなわち２本の腕の重心が左右に動く距離（速さ，加速度）と，中心軸ボックスが左右に動く距離（速さ，加速度）の比は，両者の質量の逆比になります。中心軸ボックスは左右に振動するのですから，当然その加速度は変化し，したがってまた中心軸ボックスが腕から受ける力も変化します。

それぞれの腕の質量と中心軸ボックスの質量が等しい場合，腕を等速回転させたときのシミュレーションを添付します。

補足

シミュレーションを示していただきありがとうございます。

腕の位置により、力の大きさが変化することは理解できました。２つの棒が重なる場合は上下方向への力しかかからないので相殺されて、上下一直線状になる時には中心軸に最大の力が働くようですね。

回答の中に「それぞれの腕の質量と中心軸ボックスの質量が等しい場合」という記述があるのですが、中心軸ボックスは腕の端にあり別々の物ではないので、質量をどのように配分したらいいのか分かりません。

ある質量ｍの部分に力を加えるとＦ＝ｍａで加速度を求める事ができますが、腕と中心軸がつながっている場合はどのように考えれば良いのでしょうか。

それを解決しないと計算できないと思うのですが。
よろしくお願いします。

回答No.2

yokkun831

一本のアームが一端に組み込まれたモーターで動くとしましょう。
これを摩擦のないテーブル上で動かします。
モーターが回るとき，アームとモーターは図の矢印のような向きに回転させる力を互いに及ぼしあいます。
外から受ける力は，テーブルに摩擦がなければ，重力と垂直抗力がつりあっているだけですから，全体の重心は動くことができず，アームとモーターの全体が重心を中心として回転します。

さて，もうひとつアームをつけたらどうなるか？　結果はNo.1さんが説明されている通りです。

回答No.1

中京区 桑原町（@l4330）

体が止まってるなら白い矢印で示されたベクトルと反対方向に同じ大きさの力（ベクトル）が存在しないと成り立ちません。
図の赤い矢印が体を動かします。

補足

早速の回答ありがとうございます。

それで、力の大きさは計算できるのでしょうか。

中心軸と外側の軸との間の力（トルク）が中心軸部分を動かす事は何となく分かるのですが、中心軸を地面等に固定した状態でかかる白の矢印の力と、中心軸が自由な状態でかかる白の矢印の力の大きさは違うような気がするのです。

中心軸を固定した場合、中心軸の力は上下の棒の質量を右方向へ振るという仕事をしますが、中心軸が自由な場合、中心軸は左へ動くので棒の重心？を中心として回転させる仕事をしているように思えるのです。

上の棒だけを考えると、白の矢印は右向きへ、赤の矢印は左向きへ棒を動かす力になるので、棒を回す運動と考えればよいのでしょうか。

よろしくお願いします。