偶力が作用するはり

質問

課題でこんな問題が出ました。
一端固定、他端単純支持の一様な断面のはりの単純支持端に偶力M0を作用させる。(図参照)このとき、単純支持点のたわみ角をカスティリアノの定理を用いて求めなさい。なお、はりの長さをＬとする。

（自分で解いてみた回答）
ぼくはまず、曲げモーメントLを考えて、
Ｌ＝ＲＡ＋M0
と求めて、これを用いてひずみエネルギーＵを求めると、
Ｕ＝∫(RA+M0)^2/2EI dx(０～Ｌ)
＝1/2EI∫(RA x^2+2RAM0 x+M0^2x)　[０～Ｌ]
＝1/2EI{RA^2 L^3/3+2RAM0 L^2/2+M0^2L｝
とまで出ましたが、計算が心配です。これ以上頑張っても計算で詰まってしまいます。もしかしたら、このやり方は間違っているのかなあ…

ちなみに答えは(たわみ角)=M0L/4EI
です。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

基本的には合っていますが、表示式にチョコチョコと誤記がありますねえ。

Ａ端を原点とし、右に座標ｘをとると、モーメントＬは、
Ｌ＝ＲA・ｘ＋Ｍ0
歪エネルギーは、
Ｕ＝∫(ＲA・ｘ＋Ｍ0)^2/2ＥＩ dx(０～Ｌ)
＝1/2ＥＩ∫(ＲA^2・ｘ^2＋2ＲA・Ｍ0・ｘ ＋Ｍ0^2)ｄｘ　[０～Ｌ]
となる点が違っています。
しかし、その後が合っていますから不思議？？

Ｕ＝1/2ＥＩ{ＲA^2 ・Ｌ^3/3＋2ＲA・Ｍ0・ Ｌ^2/2＋Ｍ0^2・Ｌ｝

条件としては、Ａ端でたわみδ＝０となることから、
δ＝∂Ｕ/∂ＲA
＝1/2ＥＩ{2ＲA ・Ｌ^3/3＋2Ｍ0・ Ｌ^2/2｝
＝０
から、
ＲA＝－3Ｍ0/2Ｌ

この時のたわみ角θは
θ＝∂Ｕ/∂Ｍ0
＝(ＲA・Ｌ^2＋2Ｍ0・Ｌ)/2ＥＩ
＝Ｍ0・Ｌ/4ＥＩ
となって、めでたし、めでたし！

ただし、この問題、あなたの責任ではありませんが、「偶力が作用する梁」ではありませんねえ。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
確かにそうですね・・・偶力が働いているはりではないですね・・・