ばね定数の片持ちはり

質問

長さＬの片持ちはり（曲げ剛性がＥＩ）の先端に、天井から吊るされたばね（定数ｋ）が取り付けられている
このようなはりの先端に集中荷重Ｐが鉛直下方向きに加えられているときの先端のたわみを求めよ

という問題なんですが答えが分からなくて苦しんでいます
もし宜しければ助け舟をお願いします

回答No.2

inara

>最終的にｋは与えられてないのでこの条件下ではｋ1＝ｋ考えてれますか？

問題文に 「天井から吊るされたばね（定数ｋ）が取り付けられている」 とあるので k は与えられていますよ。この k を使えばいいんです。そうすれば、答えは δ = P/( 3*E*I/L^3 + k ) です。ｋ1＝ｋとしてはいけません（そうなる理由がありませんので）。

お礼

すみません。読み間違いしてました。

最後までご丁寧な解説本当に有難うございました。

回答No.1

inara

こういう状況でしょうか。

　　┏━━━━━┯━━
　　┃　　　　　　　 │
　　┃　　　　　　　 バ
　　┃　　　　　　　 ネ
　　┃　　　　　　　 │
　　┠─────┤
　　┠─────┘
　　┃片持ち梁　 ↓
　　┃　　　　　　 　P

片持ち梁だけでも１つのバネですから、これは下図のように、２つのバネを並列につないで、同じ変位となるようにしたものと等価です。

　　━┯━━━┯━
　　　 │　　　　 │
　　　 バ　　　 　バ
　　　 ネ　　　 　ネ
　　　 １　　　 　 ２
　　　 │　　　　 │
　　　 └─┬─┘
　　　　　　 ↓
　　　　　　 P

バネ１が片持ち梁、バネ２が問題に出てくるバネ（バネ定数 k ) です。バネ１のバネ定数を k1 [N/m] 、先端のたわみを δ [m] とすれば、２つのバネに同じ変位 δ を与えたとき、２つのバネの合力が P になるので
　　　P = k1*δ + k*δ = ( k1 + k )*δ
　　　→　δ = P/( k1 + k ) --- (1)
となります。

片持ち梁の k1 は材料力学のテキストに出ていますが、復習しておきましょう。
片持ち梁の根元を x = 0、先端方向を x 軸にとったとき、x 方向での梁のたわみ y(x) [m] は次の微分方程式を満足します（ y が小さい場合）。
　　　d^2y/dx^2 = -M/( E*I ) --- (2)
E*I は梁の曲げ剛性[N・m^2]、M は曲げモーメント [N・m] です。長さ L [m] の片持ち梁の先端 ( x = L ) に荷重 P [N] を加えたとき、曲げモーメントは
　　　M = P*（x - L ) --- (3)
となります（曲げモーメントは根元で最大、先端でゼロ）。

もし、梁の曲げ剛性 E*I が x に依らず一定なら、E*I を定数とみなせるので、式(3)を式(2)に代入して、両辺を x で2回積分すれば
　　　dy/dx = -P/( E*I )*( x^2/2 - L*x ) + C1
　　　y = -P/( E*I )*( x^3/6 - L*x^2/2 ) + C1*x + C2
一方、梁の根元 ( x = 0 ) では dy/dx = 0 （傾斜していない）、y = 0 （変位ゼロ） なので
　　　C1 = C2 = 0
したがって
　　　y(x) = -P/( E*I )*( x^3/6 - L*x^2/2 )
となります。

梁の先端 ( x = L ) でのたわみが δであるなら
　　　y(L) = -P/( E*I )( L^3/6 - L^3/2 ) = P*L^3/( 3*E*I ) = δ
　　　→　P = 3*E*I*δ/L^3 --- (4)
これは、力 P を与えたときの変位が δ であるバネと等価なので、そのバネ定数を k1 とすれば
　　　P = k1*δ--- (5)
式(4)と(5)を比較すれば
　　　k1 = 3*E*I/L^3 --- (6)

式(6)を式(1)に代入した結果が答えです。

お礼

分かりやすい説明、本当にありがとうございました。
本当に助かりました。

もう一つお聞きしたいのですが、
最終的にｋは与えられてないので
━┯━━━┯━
　│　　　│
　バ　　　 バ
　ネ　　　 ネ
　１　　　 ２
　│　　　│
　└─┬─┘
　　　ｌ
　　　 P

この条件下では
ｋ1＝ｋ考えてれますか？