基底と次元について

質問

いろいろと問題を解いていたんですが、次の問題の解き方がさっぱり分かりません。分かる方がいらしたら教えてください。お願いします。

Pn[x]におけるsubspace Ｗ={f(x)|f(1)=0}の基底と次元を求めよ。という問題です。

回答No.2

sokamone · ベストアンサー

はあ～、いま打っていた回答(30行は優にあった）が
ウィンドウの大きさを変えた途端全部消えてしまって
ちょっと萎えてます；；。また気が向いたら書こうと思います。

これだけは聞いておきたいのですが、
えっと、私の答え dimＷ＝n ってまちがいですか？

それと基底の答え方がわからないということなので、
それについて説明します（さっき書いてたんですが全部消えてしまった；；）。

ベクトル空間Ｖの基底とは、Ｖの元の何個かからなる組
v1、v2、…、vn
で、つぎの性質１）、２）を満たすものを言います。
１）v1、v2、…、vn は一次独立である、
２）Ｖのすべての元は、v1、v2、…、vn の一次結合で表される。

だから、Ｗの基底を答えるのには、NO.1の私の回答だと、
基底は、x^n-1，x^(n-1)－1，…，x^1－1 (ｎ個の元）で、
これらが基底であるという証明をしなければなりません。

さっきはその証明も書いてたんですが、最初に言ったように
全部消えてしまって、いまはちょっと萎えてますので書く気力が
起きません。

お礼

本当にありがとうございました。
30行も証明を書いていただいて（何と言ったらよろしいのか・・）消えてしまったのは残念ですが、次元、基底とも一応答えとして出したものとあっていたのですっきりしました。
重ね重ね有難うございました。

補足

あ、それと次元がnじゃないですよね？ってきいたのはただ自分の考えに自信が無かったからなんです。

回答No.1

sokamone

Pn[x]というのは、適当な体に係数をもつ、高々ｎ次の多項式全体からなる集合のことですよね？以下、そのつもりで解き方を説明します。

まずPn[x]の基底は、例えば
1,ｘ,ｘ^2,ｘ^3,……,ｘ^n
がとれます。よって、ｎ+1次元のベクトル空間です。
Pn[x]の元ｆ(x)=an・x^ｎ＋・・・＋a1・x＋a0・1 は、
この基底に関して、
（a0,a1,...,an)
というように座標表示できます。

もし、ｆ(ｘ)がＷの元だとすると、f(1)=0より、
a0+a1+...+an=0
が成り立ちます。例えば、a0=-a1-a2-...-anとおけば、
変数がひとつ減らせます。するとf(x)は、
an(x^n-1)+...+a1(x-1)
と書けます。

…あとは、自分で考えて下さい。

お礼

有難うございます。
とりあえずこれをもとにといてみたいと思います。

補足

すみません、やってみたんですけど次元はnじゃないですよね・・あと基底の答え方が良く分かんないんです。
お時間がありましたら教えてください。