条件付き最大値・最小値
条件 {x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0 のもとで f(x,y)=x^2+y^2 の最大値、最小値とそれらを与える(x,y)を全て求めなさい。
という問題です。私はラグランジュの乗数法を使いました。
以下、私の解答です。
φ(x,y)={x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0 とおく。このとき、
∂φ/∂x={x^(-1/3)}/6=0 …(1)
∂φ/∂y=2{y^(-1/3)}/3=0 …(2)
とすると、(1)よりx=0、(2)よりy=0である。しかし、
φ(0,0)=-1≠0
である。よって、φ=∂φ/∂x=∂φ/∂y=0を満たす(x,y)は存在しない。
F(x,y,λ)=x^2+y^2-λ[{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1] とおく。このとき、
∂F/∂x=2x-λ{x^(-1/3)}/6=0 …(3)
∂F/∂y=2y-λ2{y^(-1/3)}/3=0 …(4)
∂F/∂λ=-{x^(2/3)}/4-y^(2/3)+1=0 …(5)
(3)より、λ=12x^(4/3)
これを(4)に代入して、
y^(4/3)=4x^(4/3)
ここで、t=x^(2/3)、s=y^(2/3) とおく。(s,t≧0) すると、
t=±2s
s,t≧0より、t=2s
また、
(5)⇔s+4t-4=0
これにt=2sを代入して、
s=4/9⇔x^(2/3)=4/9 ∴x=±8/27
t=8/9⇔y^(2/3)=8/9 ∴y=±(16√2)/27
と、ここまで計算しましたが、この(x,y)をf(x,y)に代入しても、
f(x,y)=x^2+y^2
であるので、最小値も最大値も出ません。
どこかで計算ミスがあるのでしょうか、もしくは置き換えのまずいところがあったのでしょうか。
どなたかわかる方、よろしくお願いします。
