ミーゼスの降伏条件

質問

ミーゼスの降伏条件で以下のような式に至る理由が分かりません！

ミーゼスの降伏条件：
　(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2=2σy^2

どうやって導き出したのでしょうか？ひずみエネルギーからなのでしょうか？
塑性力学の本やネットを探し回っても分からなかったので、分かる方、是非ご回答下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

h191224 · ベストアンサー

ミーゼスの応力は、金属材料において、
「ある部位の、せん断に起因する歪エネルギー密度Usが、降伏応力（または耐力）に対応する値に達したとき、降伏が始まる」
という仮説に基づいて、導入されました。
この仮説には、
「静水圧のみが、いくら作用しても、降伏は発生しない」
という意味が込められていますが、このことは、実験で確認されました。

以上を式で表してみましょう。

全歪エネルギー密度Ｕから、静水圧に起因する歪エネルギー密度Ｕpを差し引けば、せん断に起因する歪エネルギー密度Ｕsが得られます。
要するに、
Ｕs＝Ｕ－Ｕp　・・・(1)
です。

主応力を、
σ1、σ2、σ3、
これらによって発生する歪を、
γ1、γ2、γ3
として、Ｕを表せば、
2Ｕ＝σ1・γ1＋σ2・γ2＋σ3・γ3　・・・(2)
これに、フックの法則、
ε1＝（σ1－νσ2－νσ3）／E　etc　・・・(3)
を適用すれば、応力だけの式に書き換えられます。

また、応力の静水圧成分をσp、σpによって発生する歪成分をεpとすれば、
2Ｕp＝σp・γp
σp＝（σ1＋σ2＋σ3）／3　・・・(4)
εpは、式(3)において、
σ1＝σ2＝σ3＝σp、ε1＝εp　・・・(5)
と置くことによって、得られます。
εp＝(1－2ν)σp/E　・・・(6)

式(1)（を２倍したもの）
2Ｕs＝2Ｕ－2Ｕp
に、せん断弾性係数Gと縦弾性係数Ｅの関係
Ｅ＝2(1＋ν)Ｇ　・・・(7)
を適用すると、
2Ｕs＝{(σ1－σ2)2＋(σ2－σ3)2＋(σ3－σ1)2}／6Ｇ　・・・(8)
となり、ミーゼスの応力の表示式の主要な部分が見えてきます。

ミーゼスの応力は、３軸の応力σ1、σ2、σ3と等価な１軸の引張圧縮応力をσm（＝あなたのσy）とするもので、(8)において、
σ1＝σm、σ2＝0、σ3＝0　・・・(9)
と置けば良く、結果は
2Ｕs＝2σm ^2／6Ｇ　・・・(10)
となります。

あとは、式(8)と式(10)を等置すれば、おしまい！！
あなたのレベルからすると、ちょっと親切過ぎたかも知れませんね（＾＾

お礼

とても親切な御回答ありがとうございます☆
大変良くわかりました☆☆☆

回答No.1

impiousfox

トレスカの降伏条件ないし2次元ミーゼス降伏条件を
3次元ミーゼス降伏条件に適用したモデルの論文に詳しいです。
CiNii検索にてPDFが入手できます。

シェルのMises型降伏条件について
Yield Condition of Shells based on von Mises' Model
著：倉田 光春, 倉田 博, 森 修(日本大学)
学術講演梗概集. 構造系
58(構造系) pp.1147-1148 19830908
社団法人日本建築学会

お礼

ありがとうございます！
見てみます！