確率の問題

質問

どのような方法で解くかわかりません。
できれば、詳しく教えてほしいです。
途中計算付で。

袋の中に白球３個、赤球４個が入っている。
この中から同時に３個の球を取り出すとき、３個とも同色である事象をＡ、また、３個中少なくとも２個が白球である事象をＢとおく。
このとき、確率Ｐ（Ａ）、Ｐ（Ｂ）、Ｐ（ＡＵＢ）
を求める問題です。

回答No.6

kony0

蛇足です。しかも長話で恐縮^^;

＃４さんの解法は、厳密に言えば
「１つずつ球を取り出し、取り出した球は元に戻さないものとする」場合の算式になっています。

ただし、
・「３つ同時に取り出す」ことと
・「１つずつ球を取り出し、取り出した球は元に戻さないものとする」こと
は、結果的に同じことを差しています。

これは、
・「１つめの球を選ぶ→１つめを取り出す→残りから２つめの球を選ぶ→２つめを取り出す→残りから３つめの球を選ぶ→３つめを取り出す」
・「１つめの球を選ぶ→１つめを取り出さず袋の中で掴んでおく→残りから２つめの球を選ぶ→２つめを取り出さず袋の中で掴んでおく→残りから３つめの球を選ぶ→３つめを取り出さず袋の中で掴んでおく→『せ～の』で掴んだ３つを取り出す」
ことに取り出し方の違いがないことを考えれば説明できます。

ところで、確率の積を考える場合は、「１つめ」→「２つめ」・・・というように取り出した順番を考慮する必要があるため、＃４さんの解法のように、「どこで赤球をとるか」についての場合分けをする必要があります。

よくある間違いとして、この場合分けを忘れて、「２つが白、１つが赤となる確率」を3/7 * 2/6 * 4/5 = 4/35 としてしまいがちです。（これは１つめと２つめが白で。３つめが赤となる確率にすぎない）

もちろん、＃４さんの解法は、ここの部分までばっちりできているため、問題なく正解です。^^

確率の得手・不得手は、このような「取り出し方の言い換え」と「そのときの注意事項（場合分けが必要）」とかっていうのをきちんと意識している（もしくは意識しなくても思いつく）か、なんとなく考えてるうちに勝手に問題を言い換えていて、注意事項には気がつかないまま、なんとなく計算をしてしまう、案外こんなところに差があるものだと、私は考えています。

回答No.5

kony0

n(A), n(B), n(A∪B), n(A∩B)について、
記号の定義がされていませんが、類推してお答えします。

まず、３つの白球に１～３の番号を、４つの赤球に４～７の番号をふります。

全事象の場合の数をn(U)とすると、これは解説なしで7C3=35

n(A)=「３個とも同色である場合の数」＝「３個とも白」＋「３個とも赤」=3C3+4C3=5

n(B)=「３個中少なくとも２個が白球」＝「３個とも白」＋「白が２個、赤が１個」= 3C3 + 3C2*4C1 = 13

n(A∩B)=「３個とも白」= 3C3 = 1

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) = 5+13-1=17

n(A∪B)=「３個とも白」＋「３個とも赤」＋「白が２個、赤が１個」 = 3C3 + 4C3 + 3C2*4C1 = 17
と考えることもできます。

回答No.4

fuzzball

後半です。（Ｐ（Ｂ）を求めます）

（ａ）白→白→白または赤、と取り出す場合
3/7×2/6×5/5＝1/7

（ｂ）白→赤→白、と取り出す場合
3/7×4/6×2/5＝4/35

（ｃ）赤→白→白、と取り出す場合
4/7×3/6×2/5＝4/35

（ａ）＋（ｂ）＋（ｃ）
＝1/7＋4/35＋4/35
＝13/35

最後に、Ｐ（Ａ∪Ｂ）を求めます。

白3個のとき、事象Ａと事象Ｂの両方に含まれているので、
両方を足した後、その分を引く。

1/7＋13/35－1/35＝17/35

補足

すいません。
わがままで。

できれば、n(AUB),n(A),n(B),n(A∩Ｂ）
のあらわしかわたも、おしえてください。

回答No.3

fuzzball

No.2さん

（４）は、赤が4種類あるので×4しないといけなくないですか？

回答No.2

yang_yang

赤と白を足した7つの中から３つの玉をひく組み合わせ
　7C3＝（7×6×5）/（3×2×1）＝35通り　・・・（１）

次に３個とも同色であるケースのなかで
　全部が白＝１通りしかない　・・・（２）
　全部が赤＝袋の中に赤が１個残る＝4通り　・・・（３）

Ｐ（Ａ）＝｛（２）＋（３）｝／（１）
＝5/35

３個中少なくとも２個が白球であるとは
全部が白（Ａ）か、２個が白（Ｂ）こと
（Ａ）は（２）のこと
（Ｂ）は白を１個引き残すことだから３通り・・・（４）

よってＰ（Ｂ）＝｛（２）＋（４）｝／（１）
＝4/35

ここでＰ（ＡＵＢ）は（２）（３）（４）のいずれかを満たしていることだから
Ｐ（ＡＵＢ）＝｛（２）＋（３）＋（４）｝／（１）
＝8/35

補足

答えは
17/35です

回答No.1

fuzzball

前半だけ。

（ａ）3個とも白を取り出す確率
　1個目に白を取り出す確率：3/7
　2個目も白を取り出す確率：2/6
　3個目も白を取り出す確率：1/5
　全部掛けると、(3×2×1)/(7×6×5)＝1/35

（ｂ）3個とも赤を取り出す確率
　1個目に赤を取り出す確率：4/7
　2個目も赤を取り出す確率：3/6
　3個目も赤を取り出す確率：2/5
　全部掛けると、(4×3×2)/(7×6×5)＝4/35

（ｃ）3個とも同色を取り出す確率
　（ａ）と（ｂ）より、
　1/35＋4/35＝1/7

補足

答えは
17/35です