三角形・斜辺を求めたい。

質問

直角でない三角形の斜辺を求めたいと思っています。
直角三角形では
斜辺^2＝底辺^2＋高さ^2　
で求めることができたと思いますが直角でない場合はどのように求めればよいのでしょうか？

△ABCで、
BC=500　[m]
∠B=30°
∠C=120°
とわかっています。

よくわからないのでよろしくおねがいします。
式など書いていただくとうれしく思います。

回答No.2

chariRider · ベストアンサー

正弦定理はご存知ですか？

三角形ABCにおいて、
辺BC、CA、ABの長さをそれぞれa,b,cとすると、
a/sin∠A＝b/sin∠B＝c/sin∠C＝２R　（※Rは外接円の半径）
という定理です。

今回は、辺BCの長さ（＝上式のa）と、∠B,Cがわかっていますね。
三角形の３つの角の和は180°なので、∠Aもわかります。
∠A＝180-(30+120)=30°です。

これらを定理に適用すると、
500[m]/sin30°＝b/sin30°＝c/sin120°
という式になります。
求めたい斜辺というのは、辺AB(=c)でしょうか。
それなら、c=（500/sin30°）×sin120°という計算で求まります。

【別解】正弦定理を使わない求め方
今回の問題は、∠A,B,Cがそれぞれ30°,30°,120°の二等辺三角形なので、正弦定理を使わなくても解けます。
頂点Cから、辺ABに垂線を下ろすと、ちょうどABの真ん中に下ろせます。
この点をDとすると、三角形BCDは、30°・60°・90°の三角形なので、
辺の長さの比が1：2：√3、とすぐにわかります。
辺BC＝500なので、BD＝500×√3/2　となります。

辺ABの長さは、BDの２倍なので、
AB＝500×√3/2×2＝500√3となります。

長文失礼いたしました^^;

お礼

なるほど！
理解することができました。
ありがとうございます。
そもそもの正弦定理そのものが曖昧に理解していたため分からなかったのですが、貴方の解答を見て理解にいたりました。
とてもわかりやすい文章でありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

角Ａ＝３０°になるので、三角形ＡＢＣはＢＣ＝ＡＣの二等辺三角形です。ＣからＡＢに垂線を下ろしてその足をＤとすると、ＡＢ＝２＊ＢＤ＝２＊５００＊ｃｏｓ３０°です。

お礼

正弦定理を使わなくてもこのようなやり方でもできるんですね。
もっと柔軟に問題に対応できるように頑張りたいものです・・・
解答ありがとうございました。