微分法

質問

次の条件を共に満たすような、整式で表された関数ｆ(ｘ)がある。ｆ(ｘ）は２次式である事を示し、ｆ(ｘ)を求めよ。

条件{１}ｆ(０)＝０　{２}(ｘ＋１)ｆ´(ｘ)＝２ｆ(ｘ)－４

考えたのは、関数をｆ(ｘ)＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃとおくとｆ´(ｘ)＝２ａｘ＋ｂとなる。そして、この２式を{２}に代入してみたのですが、分からなくなってしまいました。{１}の条件はどのように利用すればいいのでしょうか？どなたか教えて下さい。

回答No.5

grothendieck

整式という仮定は要らないと思います。
　g(x)=f(x) - 2
とおくと条件(2)より
　g'(x)/g(x) = 2/(x+1)
両辺を積分して
　log g(x) = log (x+1)^2 + C (Cは定数)
よって
　g(x) = A(x+1)^2　(A= e^C)
この式と条件(1)より
　f(x) = -2(x+1)^2 +2

回答No.4

noname#181872

ついでに。答えでちゃっているから解き方まで書きますが。
力技で展開して次数が同じものを比較する方法以外に。

2次式と分かった後は、f(x)=ax^2+bx+cとおくと
f'(x)=2ax+b

f(0)=0からc=0

{2}は恒等式でxはいくつでも成立する。
よってx=0を代入すると
f'(0)=-4
よってb=-4

さらにx=-1を代入すると
0=2f(-1)-4
よって2(a+4)-4=0
つまりa=-2

回答No.3

fushigichan

ti-zuさん、こんにちは。
とても難しい問題ですね。
まずは、f(x)がｘの２次式であることを証明しなければなりません。

幸い、f(x)は、ｘの整式であることが分かっていますから、今
f(x)=a[n]x^n +a[n-1]x^(n-1) +・・・+a[1]x +a[0]
とおくことが出来ます。
ここで、条件１より、定数項が０ですから、a[0]=0
したがって
f(x)=a[n]x^n +a[n-1]x^(n-1) +・・・+a[1]x
とおけますね。
これを、微分してみましょう。

f'(x)=na[n]x^(n-1) + (n-1)a[n-1]x^(n-2)+・・・+a[1]
これを、条件２にあてはめてみましょう。

(x+1)f'(x)=(x+1){na[n]x^(n-1) + (n-1)a[n-1]x^(n-2)+・・・+a[1]}＝左辺
2f(x)-4=2{a[n]x^n +a[n-1]x^(n-1) +・・・+a[1]x}-4＝右辺
となっています。

この係数を、それぞれ比較しましょう。
x^nの係数は、na[n]=2a[n]ですから、n=2と分かります。
つまり、f(x)はｘの２次式であることが証明されました。

同様に、xの係数a[1]=-4ですから、f(x)は
f(x)=ax^2-4x・・・（☆）
と、おくことができます。

これを、実際に条件２にあてはめてみてください。
f'(x)=2ax-4であるから、
左辺＝(x+1)f'(x)=(x+1)(2ax-4)
右辺＝2f(x)-4=2{ax^2-4x}-4
左辺＝右辺とすれば、a=-2が出ます。

従って、求めるｘの整式は、ｘの２次式であって、
f(x)=-2x^2-4x
と求めることが出来ました。

※　計算のところは、実際にやってみてくださいね。

回答No.2

mmky

参考までに
２次式の場合はということでしょうかね。
関数をf(x)=ax＾2＋bx＋cとおくと
条件(１)
ｆ(0)=0 だから c=0
ｆ(x)=ax＾2＋bx
f'(x)=2ax+b
条件（2）
(x+1)ｆ'(x)=2f(x)-4
(x+1)(2ax+b)=2ax＾2+(2a+b)x+b
=2(ax＾2＋bx)-4
2a+b=2b, b=-4
2a-4=-8, a=-2
ということで
f(x)=-2x＾2-4x
というような考え方でしょうか。
考え方の参考程度に

回答No.1

noname#181872

まずti-zuさんの解き方では証明しなければならないことを
証明せずに使っているということで、まずいと思います。

まず、f(x)が2次式であることを示さなければならない
ということです。それが証明されてから
f(x)=ax^2+bx+cをはじめて使えるのではないでしょうか。

で、証明の仕方は、f(x)はn次式であると仮定し、
{2}の条件ではxがいくつでも成立する恒等式で
あることからnはどうなるでしょうか？

また、2次式だと分かった後はf(0)=0ということだから
f(x)の定数項は？

ヒントでした