間違えているところ指摘してください

質問

(a^l)^m=a^lm=(a^m)^l , a^l+m=a^l×a^m　　となることを
帰納法を使って求めろという問題が解けません。
一応やっては見たのですが見てみてください。

証）ｍ＝０のとき両辺は１となって成立。
　　ｍ≧１に対しては、帰納法を使うと、
　　ｍ＝１のときは自明。
　　(a^l)^m=a^lmの成立を仮定すると
　　(a^l)^m+1=(a^l)^m×(a^l)^1=a^lm×a^l=a^lm+l=a^l(m+1)
　　となって、m+1の場合も成り立つ。最後にｍ＜０のとき
　　－ｍ＝ｋ＞０とすれば
　　(a^l)^m=(a^l)^-k=((a^l)^-1)^k=(a^-l)^k=a^-lk=a^lm
　　となって、すべての場合において等式が示された。
　　同様にして、a^lm=(a^m)^lは明らかであるのでこれは示された。

このような感じでよいのでしょうか？また、後半のa^l+m=a^l×a^mは
考えては見たのですがどのようにやっていったらよいのかわかりません。
ご指摘お願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

enarikunさん、こんにちは。

前半の証明は、それで合っていると思いますが、証明する等式と同じmを使うのは
少しややこしいので、kを用いて
m≧1のとき
m=kで等式が成り立つとすると、
(a^l)^k=a^lk=(a^k)^l
ここで、m=k+1とおいても、これが成り立つかどうかを調べればよいと思います。
(a^l)^(k+1)=(a^l)^k*(a^l)=a^lk*a^l=a^(lk+l)
=a^l(k+1)=(a^(k+1))^l
となって、m=k+1のときも（☆）が成り立つことを示す。
よって、すべての自然数mで成り立つ。
という感じだと思います。

＞また、後半のa^l+m=a^l×a^mは
考えては見たのですがどのようにやっていったらよいのかわかりません。

a^(l+m)=a^l*a^m・・・（☆）

（☆）が成り立つことを帰納法で証明する。
m=0のとき
a^(l+0)=a^l=a^l*a^0=a^lで成り立つ。

m≧1のとき
m=kで（☆）が成り立っているものとすると、
a^(l+k)=a^l*a^k
ここで、m=k+1のときを考えると、
a^(l+k+1)=a^(l+k)*a^1=a^(l+k)*a
=a^l*a^k*a=a^l*a^(k+1)
となっているので、これは（☆）がk+1のときも成り立つことを示す。

あとは、前半と同じようにされたらいいかと思います。
頑張ってください。

回答No.2

Mell-Lily

この問題は、l,mは整数で、aは実数という設定ですか？