２力の合成に関する三角関数

質問

設計の基礎的な問題集を見ているのですが、２力の合成で使う三角関数の計算方法を忘れてしまいました。

ネット上で正確に表記できませんが、２力の合成でその合力の角度の求め方です。
例えば水平方向（右方向）がＦ１＝５００Ｎで、それに直角に接するＦ２＝３００Ｎだったとすると、その合力の角度の求め方です。（合力が何Ｎかは計算できます。）

ｔａｎα＝Ｆ２／Ｆ１　から、ｔａｎを右辺に移動させた式の、

α＝ｔａｎ＾－１（Ｆ２／Ｆ１）

という式の解き方を忘れてしまいました。
以前は普通に解いていたのですが、ｔａｎ＾－１という箇所の意味がよくわかりません。（ｔａｎの右上に小さく　－１　と書いてあります。）
１０＾－１ならば　１／１０だと思いますが、上記の場合だと意味合いが異なると思いますが…。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

y=tan(x)の時
xをyで表すと
x=tan^(-1)(y)
となります。
この時のxが取りうる範囲は
-π/2≦x≦π/2
です。
（この範囲のxを主値と言います。）
tan(2)
の2は角度の2ラジアンです。
度の場合は　2°と書きます。

一方
tan^(-1)(2)
のtan^(-1)はtanの逆関数を表し「tan」のマイナス１乗ではありません。
tan^(-1)(2)は角度を表し、単位はラジアンまたが度です。
（元々、角度のラジアンや度は無次元の単位です。）
今,底辺=1,高さ=√3,斜辺=2の直角三角形を考えると
直角三角形の直角以外の二角B,Cは
tanB=(√3)/1=√3
tanC=1/√3
これを角度について解くと
B=tan^(-1)√3=π/3[rad]=60°
C=tan^(-1)(1/√3)=π/6[rad]=30°
と言うことです。
この様に、tanとtan^(-1)は逆関数の関係です。
丁度、分かりやすい角度なら
tan^(-1)1=π/4[rad]となりますが
tan^(-1)(3/5)≒0.5404195…[rad]
のような角度は単純に書けませんのでそのまま
θ=tan^(-1)(3/5)=tan^(-1)0.6[rad]
などと書きます。

通常のべき乗を表す
x^(-1)や(2/3)^(-1)は,
逆数の
1/xや(3/2)
を表します。

お礼

回答ありがとうございます。

最初に読んだ時はよく理解できませんでしたが、改めて読み直したところ、よくわかりました。

参考になりました。

回答No.4

arrysthmia

累乗は、乗法の繰り返しを表す記法ですが、
関数 f に対して f ^n と書くとき、
関数の値 f(x) の数値としての「乗法」を繰り返して f ^n とする場合と、
関数の合成を、関数と関数の一種の「乗法」とみなして、
その繰り返しを f ^n とする場合 があります。
どちらも f ^n (x) と書くことがあるので、たいへん紛らわしいですね。

私は個人的に、前者を f(x) ^n、後者だけを f ^n (x) と書いて区別する
ようにしていますが、世間一般では、ゴッチャに使われます。

特に三角関数の場合、n = 2,3,… に対しては前者の意味の sin^2 θ 等が、
n = -1 に対しては後者の意味の 逆三角関数が、普通の読み方ですから、
混乱もここに極まれりといった感じです。

1/(tan θ) のことは cotθ、
tan の逆関数のことは arctan と書いて区別することを勧めます。

お礼

回答ありがとうございます。

先月にＮＨＫでこの辺りの問題の解き方・解説の番組があり、そこで

(sinＡ)^2 + (cosＡ)^2 = 1
というのを
sin^2 Ａ + cos^2 Ａ = 1
と表記しても良い。

と言っていたのを観て、その後に問題集を見たので、おかしな風に勘違いしていました。

＞tan の逆関数のことは arctan と書いて区別することを勧めます。

私もそのようにしていた記憶があったのですが、問題集にはまったくarctanという書き方はしていませんでした。
今後はそのようにしたいと思います。

補足

補足ではありませんが、４つの回答の中でどれにポイントをつけるか非常に難しいので、回答順（早い順）とさせていただきます。

回答No.3

BookerL

＞α＝ｔａｎ＾－１（Ｆ２／Ｆ１）
＞
＞という式の解き方を忘れてしまいました。

　この問題の場合、Ｆ１＝５００Ｎ、Ｆ２＝３００Ｎ なので、tan-1(300/500)＝tan-1(0.6) となり、これは、tanα＝0.6 になるαのことです。
　「解き方」といっても、普通は三角関数表を見るか、関数電卓を使うかしかないでしょう。

　Googleで検索窓に arctan(0.6) と入れてEnterキーを押すと

　arctan(0.6) = 0.5404195

　と出てきます。（単位は rad ）「度」の数値が必要なら、arctan(0.6)*180/pi とします。

－－－－－
念のため。
＞ｔａｎ＾－１という箇所の意味がよくわかりません

θ＝tan-1ｘ　という式は　ｘ＝tanθ　の逆を表しています。
tan45°＝１ ですから、45°=tan-1(１)　です。
あるいは、tan-1ｘ　という式は、「どんな角度のtanがｘになるか」という角度を表す、ともいえます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞「解き方」といっても、普通は三角関数表を見るか、関数電卓を使うかしかないでしょう。

手元に三角関数表がなく、関数電卓の使い方も完全に間違えていました。（tan^-1と入力し、その後に(300/500)と入力し計算していました）

0.5404195という、なぜこのような数値が出てくるのかも忘れてしまっていましたが、その点も補足、ありがとうございました。

回答No.2

sanori

こんばんは。

＞＞＞ｔａｎ＾－１という箇所の意味がよくわかりません

tan の逆関数を　tan^-1 と書きます。
私は、その書き方が嫌い（１／tanθ と紛らわしい）なので、いつも
arctan
と書いています。

電卓を使いましょう。
arctan(300/500)　＝　0.5404195・・・　（単位はラジアン）
http://www.google.com/search?q=arctan%28300%2F500%29&sourceid=ie7&rls=com.microsoft:en-US&ie=utf8&oe=utf8

ラジアンを度に直すには、πで割って１８０をかけます。
0.5404195／π　×　１８０　＝　30.9637565　度
http://www.google.com/search?hl=ja&rls=com.microsoft%3Aen-US&q=arctan%28300%2F500%29%E3%80%80%C3%B7%E3%80%80%CF%80%E3%80%80%C3%97%E3%80%80%EF%BC%91%EF%BC%98%EF%BC%90&lr=

以上、ご参考になりましたら。

お礼

回答ありがとうございます。

＞私は、その書き方が嫌い（１／tanθ と紛らわしい）なので、いつもarctanと書いています

arctanという言葉を見て、以前勉強したときのことを思い出しました。
私も同じく紛らわしいので同じようにしていた記憶があります。

手元にある関数電卓にはarctanのキーはありませんでしたが、シフトキーを押しながらtanキーを押すと、tan^-1が表示され、その後に（300/500）を入力し計算すると、角度（30.9637565°）が出ました。