正射影について教えてください。

質問

θの角度をなす２つの平面がある。一方の平面上にある面積Sの平行四辺形を他方の平面に正射影した図形の面積をS'とするとＳ’＝Ｓcosθが成り立つことを証明せよ。

回答No.5

fushigichan

＃３です。

平行四辺形の面積なので、底辺×高さでよかったですね。
1/2かけたのは間違いです。すみません。

底辺L　→　L　のまま

高さH　→　Hcosθ と、なりますから

面積LH　→　LHcosθ

となるので、S'=Scosθ となります。

回答No.4

mmky

回答はありますので参考程度に

基準の平面（投影されるほう）から平行線（間隔をLとしましょう)を他の平面に引いてみてください。平行線の角度は平面同士の角度θですね。小さく考えましょう。平面の上で平行線と直角に交わる平行線を引くんですね。その間隔をMとしましょう。そうすると小さな長方形や四角形ができますね。面積はL*Mですね。それを基準の平面に平行な面で考えると（つまり投影すると）Lの長さはおなじですね。
でもMはM*cosθになりませんか。
だから投影した面積はL*Mcosθ　になりますね。
L*M=S とおけば　S`=S*cosθ　ですね。
小さい面積で成立するんですから平面とのなす角度θがわかればどの部分でも成立しますね。
ということですかね。

回答No.3

fushigichan

mathtaroさん、こんにちは。
ちょっと、感覚的に難しいと思うので、簡単なイメージでとらえてみてください。

まず、角度θをなす、２平面を考えるのに、
１枚の紙を２つに折ってみてください。
さて、その折り目がついた半分の平面から
もう一つの平面への正射影を考えてみることにします。

ここで、平面上の平行四辺形の面積をSとします。
この平行四辺形の底辺をL、高さをHとしますね。
S=1/2LH
ですね。

今、この平面上の平行四辺形を平行移動して、底辺Lが
ぴったりと折り目に一致するように移動するとします。
すると、正射影した図形の底辺の長さもLになります。
（正射影した図形の底辺と一致する）

今度は、高さLですが、これは、角度θがついていますから
正射影をとると、H→Hcosθと写されます。

よって、正射影された平行四辺形の面積S'は
S'=1/2L*Hcosθ
　=Scosθ
となることが分かります。

参考URL：

http://www.e-t.ed.jp/edotori39021/a33-3.htm

回答No.2

noname#24477

２つの平面の交線に平行な線分と、それに垂直な線分で
できる直角三角形を考えます。

交線に平行な線分は正射影の長さは変わりません。
垂直な線分の長さはcosθ倍になります。
そうすると直角三角形の面積はcosθ倍になります。

どんな多角形の面積でも直角三角形の足し算、引き算で計算できます。

回答No.1

ONEONE

こちらのHPで証明がのってます。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/projection/PAGE001.HTM