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立体わかりづらい問題

2007/04/26 17:55

AC=BDの四面体ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれK,L,M,Nとする。ACとBDに平行な平面によるこの四面体の切り口は平行四辺形であることを示せ。また、その面積Sは平面がK,L,M,Nを通るとき最大であることを証明せよ。という問題です。平行四辺形であることを示せました。しかしそのあとの最大であることの証明は解説を見ても1部がわからないので、そこを教えてください。 AC=BD=a,∠FEH=θとおくと、「θはACとBDのなす角度であるので一定である。」とあります。この後証明を続けていくわけですが、「」の中がわかりません。なんで一定なのでしょうか。理論的裏づけがあると思いますが、わかりません。またイメージのようなものがあれば是非教えてほしいです。この問題の場合難しいかもしれませんが。

dandy_lion
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数学・算数
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kkkk2222
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2007/04/26 23:05 回答No.4

＃２です。ゴメンナサイ空間把握力は、生まれつきの事項です。当方はダメデス。東大受験は断念しました。教科書に載っている、円錐曲線は、なんど見ても目が回ります、理工系に進学すると、あらゆる分野で空間です、偏微分・重積分・・・３次元までは不可欠です。 4次元以上は理論であって、あまり影響はありません。＞＞公務員試験空間把握伝説の解法プログラム内容はわかりませんが、題名からして？？書店で、内容を見ないと何とも言えません・・・当方が知っているのは、科学新興新社　モノグラフ http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/search-handle-url/index=blended%26field-keywords=%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E3%80%80%E6%95%B0%E5%AD%A6%20-%E3%82%A2%E3%83%80%E3%83%AB%E3%83%88%26results-process=default%26dispatch=search/ref=pd_sl_aw_tops この中にはありませんが、漸化式をＭＡＳＴＥＲするのに3ヶ月かかりました。空間はベクトルですが、今回のようなのは、空間幾何（図形）でしょう。全部で５０冊程あるはずですが、５，６冊買ったはずです。ただ古い話なので、今はもっと良い本が出ているはずです。＜空間といっても＞さまざまなアプローチがあり、貴殿の求めるものがなんであるか・・・空間ベクトル、空間図形、（空間の方程式←現行課程ではあまり出てきません。）＃１　　大きな書店でさがす。＃２　　　ＴＡＲＧＥＴが定まれば、新スレッドで質問する。のが良いかとおもいます。

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masuda_takao
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2007/04/27 01:30 回答No.5

　なんか...質問者さんの「」内の箇所にちゃんと御答えの方がいらっしゃらないようなので、僕から補足します。　ベクトルで考えるのが分かり易いでしょう。　以下、「ベクトルＡＢ」「ベクトルｘ」等を「v(AB)」「v(x)」等のように記します。　v(AB) ＝ v(a), v(AC) ＝ v(b), v(AD) ＝ v(c) とおくと、θは v(b) と v(c) - v(a) のなす角です。　v(a), v(b), v(c) は何れも定点の位置ベクトルですから、θは定数です。　最大値の評価は No. 3 さんの仰る通りです。　空間図形の問題で、苦手を克服する工夫ですが、色々手はありますよ。　最も有効なのは、実際にその図形の模型を作っちゃうことです。紙や竹ヒゴ等で簡単なものは作れます。ねじれの位置にある直線の位置関係や、空間の三角形及び四角形、円板などを視覚的に理解するにはもってこいでしょう。　お絵書き帳などを使って、図形のスケッチをしてみるのも有効です。　３時限空間である領域を占める立体を考える場合には、その断面を考えるのも有効です。x, y, z の式で表されている図形を、例えば x ＝ t で切ったらどうなるか？を考えるのです。　先天的にうんたらとか言わず、出来る努力はしてみることを御奨めします。　街の大きな本屋さんに行けば、テーマ別の参考書や演習書の類はそれなりにあります。でも、その前に出来ることだってあります。高校生や予備校生なら、そこの数学の先生と仲良しになって色々聞くという手もあります。　どーしてもそれがダメｗ...ということなら、例えば http://www.h6.dion.ne.jp/%7Ehsbook_a/index.html ...なんかが良いでしょう。

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ht1914
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2007/04/26 20:29 回答No.3

平行四辺形は分かったとありますね。その平行四辺形のＡＢ上の頂点をＰ，ＢＣ上の頂点をＱ，ＣＤ上の頂点をＲ，ＤＡ上の頂点をＳとします。ＰＱ，ＲＳはＡＣに平行、ＱＲ，ＳＰはＢＤに平行です。ＡＰ／ＡＢ＝ｘとおきます。ＰＳ＝ｘＢＤ＝ｘａ、ＰＱ＝（１－ｘ）ａです。平行四辺形の面積はｘ（１－ｘ）ａ＾２に比例します。比例係数は平行四辺形が長方形からどれだけ歪んでいるかを表すものです。これはＰＱ，ＰＳのなす角度で決まります。この角度はＡＣ，ＢＤの角度になりますがＡＣ，ＢＤは交わっていません。ＡＣ，ＢＤに平行な面にＡＣ，ＢＤを投影した時の角度になります。質問の中のθはこの角度のことです。角度一定ですから比例定数一定です。ｘ（１－ｘ）≦１／４です。等号はｘ＝１／２です。ＰはＡＢの中点になります。

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kkkk2222
ベストアンサー率42% (187/437)

2007/04/26 20:23 回答No.2

ーーー余談から、＞＞立体わかりづらい問題空間把握力は、難関校では不可欠です。（特に東大）数年まえ、＜立方体の投影図の問題＞を試したら3日かかりました。＞＞平行四辺形であることを示せましたこれでさへ、普通の生徒は理解できません。出来るだけ、図を大きく正確に描いてください。これだけで、＜なんとなくθが一定＞にみえればＢＥＳＴです。実際、この問題を解く人は＜なんとなくθが一定＞に見えてから解答を書きます。繰り返しますが、決して＜論証してθが一定＞の順ではありません。答案をかくときには、＜論証が先になります＞＜思考過程と答案の書き順は一致しません。＞さらに、強調すると、結論が見えてから→答案　です。ーーー記号を使うと、どうしても読み難くなります。＞＞平行四辺形がわかってますので。平行四辺形と四面体との交点を、（K,L,M,N）に合わせて、Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎとします。 △ＡＢＣ∽△ＫＢＬ（なぜならばＡＣとＫＬは平行）、また △ＡＢＤ∽△ＡＫＮ（なぜならばＢＤとｋＮは平行）最後にＡＣとＢＤのなす角が一定ならば、終了です。このへんが正に空間把握力です。あまり厳密に記述せずとも、答案としてＯＫです。核心はＡＣとＢＤが捩れの位置にある事です。捩れの位置にあっても、どちらかを平行移動して交わる図を想定すれば、ＡＣとＢＤのなす角度は一定で終了です。答案としては、これでＯＫですが、もし不安であるなら、ＢＤを平行移動してＡＣと交点を持つ図とＡＣを平行移動してＢＤと交点を持つ図を想定すれば丁寧です。あとは＜採点者を意識して＞不足部分を補います。ーーー質問の回答はおわりましたが、最後まで書きますひとつの角度が一定の平行四辺形の面積ＳはＳ＝ＫＬ＊ＳＩＮθ＊ＫＮここで相似を利用してＡＫ：ＫＢ＝（１－ｔ）：ｔとすれば、図を睨んで、ＫＮ＝ｔ＊ＢＤ＝ａＫＬ＝（１－ｔ）＊ＡＣ＝ａＳ＝ＫＬ＊ＳＩＮθ＊ＫＮ＝ＳＩＮθ＊ＫＬ＊ＫＮ＝ＳＩＮθ＊ｔ（１－ｔ）＊ａ＾２二次関数の頂点でも、微分でも　ｔ＝１／２すなわち、Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ　と　K,L,M,N　は一致となります。ーーー

質問者