円柱の切断面

質問

円柱を切断してできる楕円の短径は
どのような角度で切っても同じなんでしょうか？

またその証明方法を教えて下さい。

回答No.5

liar_adan · ベストアンサー

円柱の定義として、「中心線に対して、同じ距離に存在する点の集合」とします。

円柱の中心線Lを考える。
切断面と、円柱の中心線の交点をPとする。

ここで、円柱を切断してできる楕円の弧上に存在する点Qで、
PQとLが、垂直であるものが存在する。

(∵切断面が、円柱に直角だった場合は自明。
円柱に直角で無い場合、Lに対して鋭角になる点と、鈍角になる点が存在する。
楕円弧上を点Qが連続して動く場合、鋭角から鈍角に移行するので、ちょうど直角になる点が存在する。
これは解析の方の中間値の定理より言える)

PQ⊥Lであることから、PQの長さはLとQの距離に等しい。
(証明は略。三平方の定理より導出可能)
よって、PQの長さは円柱の半径rに等しい。

中心線からrの距離にある点が楕円の中に存在することは証明できたと思います。
あとはこれが楕円の短径に一致することを言えばいいのですが、
他の点がPからLに対し鋭角もしくは鈍角であることを使えば
出るでしょう。

お礼

なるほどー！よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.7

nubou

円柱を平面に貫通させ平面にできた穴について考える

（１）
円柱を垂直に切ってできた厚さ０の円は穴を通ることができる以上穴の短径は円柱の半径を下回らない
（なぜマンホールは丸いか理論より）

（２）
平面と楕円を平面の真上からみると穴の幅が円柱の直径の幅に等しい部分があることがわかる

（３）
１より穴の短径は円柱の半径以上である
２より穴の短径は円柱の半径以下である
よって穴の短径は円柱の半径に等しい

お礼

ありがとうございます。実験してみなきゃだめですね。

回答No.6

noname#10263

三角関数で
長径の長さを　Ｌ
円柱の半径を　Ｒ
切断の角度を　a
(円柱の垂直切断からの角度）

この関係は
Ｌ×cos a=2R

Ｌ=2R/cos a
cos aはaが０度の時１となり
Ｌは最小となります。

斜めの面の長径２Ｒと同じか大きくなることになります。
短径は常に２Ｒで円柱の中心を通ります。

お礼

切断角度を常に平面状で考えることができるという証明がいると思うんですが・・当然ですかね？

回答No.4

nickdayo

No2です。
すみません。間違えました。「半径」ではなく「直径」です。

回答No.3

fushigichan

domo2domoさん、こんにちは。

今、底面の半径ｒの円柱があるとします。
この円柱を、ある角度で、すぱっと切るとします。
すると、竹つつみたいな立体になりますよね。

この、竹つつの、高さの、一番長い部分の長さをｈ、
一番短い部分の長さをｌとすると、
この竹つつの断面積は、横から見れば、上底ｌ、下底ｈ、
高さは底面の半径の倍の２ｒの台形になります。

さて、この竹つつを、前から見て、９０度、回転させてください。
そうすると、竹つつの、短径が底面の直径と同じ長さになっているのが分かると思います。

回答No.2

nickdayo

短径は、常に円柱の円の半径と同じだからではないでしょうか。

円柱を真横から見た図を描いて、適当な角度で切ってみて、長径と短径がどこにあるのか見つければ分かると思います。

回答No.1

fuyounor

円柱の中心軸と外周を結ぶ最短距離だからでは？

お礼

ありがとうございます。感覚的にはわかるのですが・・・