方程式について

質問

4つの方程式だけでは、未知数が5つであるから解けない。
これって、ナゼ4つの方程式では解けないと言い切れるんですか？

また解けるときは、どうゆうときですか？

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

数学的な厳密性は抜きにして，直感的な話をします．
５つの未知数をＶ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚとして，４つの方程式を

f(Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

g(Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

p(Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

q(Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

とします．f, g, p, q は関数です．f(Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0 がＶについて解けるものとして，
これを

Ｖ＝Ｕ(Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)≡v　とします．Ｕ は関数です．これを g, p, q の方程式にいれると

g(v，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

p(v，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

q(v，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

です．次に，g(v，Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0 が Ｗ について解けて，

Ｗ＝Ｔ(Ｘ，Ｙ，Ｚ)≡w　とします．Ｔ は関数です．これを p, q の方程式にいれて

r(w，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

s(w，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0

とします．r, s は関数です．次に，r(w，Ｘ，Ｙ，Ｚ)＝0 が Ｘ について解けて．

Ｘ＝Ｓ(Ｙ，Ｚ)≡x　とします．Ｓ は関数です．これを s の方程式にいれると

t(x，Ｙ，Ｚ)＝0

となります．t は関数です．この　t(x，Ｙ，Ｚ)＝0　は，未知数が Ｙ と Ｚ の２つで，
例えば，

aＹ^2 ＋ bＺ^2 ＝ c

の様な式とすると，Ｙを a, b, c の関数では表示出来ません．Ｚ が含まれてしまいます．
このことは，Ｚ についても同様です．
これは，方程式の個数が１つ足りないからです．

方程式の個数と未知数の個数が同じでないと，未知数は求まりません．

ただし，不定方程式というものがあって，これは，
方程式の個数よりも未知数の個数のほうが多い場合です．

説明が下手ですが，ご容赦を．

回答No.5

sinisorsa

＞4つの方程式だけでは、未知数が5つであるから解けない。
あなたの言うように言いきれませんね。
解が１組ではないけれど、存在している可能性があって、
どれか１組求めればいい場合など。

解けるというのはどういう意味でしょうか？
（１）解が１個以上存在する。
（２）解はあるけれど、代数的演算では求められない。
　　　５次以上の代数方程式の一般解のように
　　　数値解析的には、近似解が求められるけれど。
（３）解が存在しない－＞解けない？

あなたの意味はどれでしょう？
多元連立１次方程式の場合だと、
（３）解がちょうど１組求められる。
（４）解が１組以上ある。（不定）
（５）解が存在しない。（不能）
の３つの場合があります。
（４）の場合を解けないといいますか？
　ただ１組ではないけれど、解は見つけられます。

回答No.3

Tacosan

「方程式以外の制限」がある場合には (当該式を満たす値が一意に決まるという意味で) 解けたりしますけどね.
極端な話, x^2 + y^2 + z^2 = 0 という方程式において「x, y, z はすべて実数である」という条件がつけば x = y = z = 0 と一意に決まります.

お礼

わかりやすかったです。ありがとうございます。

回答No.2

kamiya-ka

1つの方程式から導出できるのは１つの未知数だけです。
方程式が１つ増えるごとに１つの未知数を求めれるので、４つの方程式があれば、未知数１つを使って５つの未知数を表せます。
また、逆に５つの未知数の値を全て知るためには、５つの方程式が必要となります。
ただし、問題によっては同じ方程式が出ていて(２X+2Y=4、X+Y=2のようなの)、５つ方程式が記載されていても出せないこともありますが。

お礼

なるほどです。簡潔にありがとうございます。

回答No.1

kit365

簡単に言うと以下の未知数が二つの方程式が一つあるとします
X+Y=3

これだけではXもYも分かりませんよね？
同じように未知数が三つ、方程式二つでは　　（適当に作っています）
X+Y+Z=３
2X+3Y+2Z=7
となりYだけなら分かりますがXとZは分かりません

これを踏まえて考えると
＞4つの方程式だけでは、未知数が5つであるから解けない。
が分かりますか？

お礼

すごい納得です。ありがとうございました！