曲線の弧の長さ

質問

曲線の弧の長さ（例えばy=a・sin(t)など）の求め方が分かりません。できるだけ詳しく知りたいです。公式があれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

yyamada10

私も解法を探しています。
No.4の方の回答方法に近いところまで行きましたが、No.4の方が求めているのは、円周の長さだと思います。

正弦波(y = a sin(wt))の場合、
x=t
y=a sin(wt)
となり、

ds=sqrt(1 + (aw cos(wt))^2)dt

を積分する必要がありますが、この積分ができなくて困っています。

Mathematicaを使ったのですが、
解に　EllipticE（）といった楕円関数が入っていてきれいに解けません。

変数a,wが定数の場合、近似値を求めることは可能のようですが、公式のように、a,wが変数のままの場合、どのような解法があるのか参考URLやアドバイスなど教えていただければありがたいです。

回答No.4

khiro19

関数が
x=f(t) ,y=g(t)
と媒介変数tを用いて表されている場合、区間a<t<bにおけるこの関数の曲線の長さは
　　√{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}
をaからbまで積分することで求められます。

例えば、x=acos(t) , y=asin(t)　　(ただし、a>0)
である場合、0<t<2πの範囲でのこの曲線の長さをsを求めるとすると、
　　dx/dt=-asin(t) , dy/dt=acos(t)
だから
　　√{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}
=√[{-asin(t)}^2+{acos(t)}^2]
=√a^2
=a
となるので、これを0から2πまで積分して
s =2πa
となります

回答No.3

パんだ パンだ（@Josquin）

ある曲線上で、xがx'からx'+Δx、yがy'からy'+Δyまで変化したとすると、
その間の曲線の長さは、直線で近似して √{(Δx)^2+(Δy)^2} ですよね？
これを √{1+(Δy/Δx)^2} Δx と変形して、
求める曲線の全体の長さは、これの和なので、積分してやればいいのです。
つまり、∫√{1+(dy/dx)^2} dx　です。

回答No.2

ishun_xeno

現行の高校数学では範囲外になってしまっていますが、『数学III』で「発展」等として扱っている教科書や参考書も多いと思います。
（私の手元にある教科書には載っていました。）

ただ、積分して具体的に長さを計算できる曲線は、かなり限られます。

回答No.1

shinya_ohtani

Z=1を線積分してあげると、でてくる面積は、曲線の弧の長さになっています。とにかく線積分をキーワードにGoogleから探ってみるとたくさん説明があるので説明はそちらに任せます。