級数の和について

質問

Σ(i=0 ,∞) i・y・x^i・(1-x)=yx/(1-x)となるそうなのですが，どうしてこうなるのかがわからないので教えてください．
多分,Σ(i=0,∞)x^i=1/(1-x)を使うと思うのですが

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

Sn=Σ(i=0,n)i*y*x^i*(1-x)
とおきます。
xSn=Σ(i=0,n)i*y*x^(i+1)*(1-x)=Σ(i=1,n+1)(i-1)*y*x^i*(1-x)
と変形できます。
Sn-xSnを計算すると
Sn-xSn=(1-xSn=Σ(i=0,n)i*y*x^i*(1-x)-Σ(i=1,n+1)(i-1)*y*x^i*(1-x)
=Σ(i=1,n)i*y*x^i*(1-x)-Σ(i=1,n)(i-1)*y*x^i*(1-x)-n*y*x^(n+1)*(1-x)
=Σ(i=1,n){i*y*x^i*(1-x)-(i-1)*y*x^i*(1-x)}-n*y*x^(n+1)*(1-x)
=Σ(i=1,n)1*y*x^i*(1-x)-n*y*x^(n+1)*(1-x)

ここで前のΣの計算は単なる等比数列の和になります。
後はこれこれを計算してx≠1の場合は両辺を(1-x)で割りSnを求める。

n→∞の極限を求めればよい。
(計算はしてませんのでご自分でお確かめください)

お礼

ありがとうございます．

回答No.1

Tacosan

形式的には Σ(i=0,∞)x^i=1/(1-x) の両辺を x で微分するのが最も簡単.

お礼

ありがとうございます