どれか２つの和は０である

質問

すみませんが質問させていただきます

１／ｘ＋１／ｙ＋１＋／ｚ＝１／ｘ＋ｙ＋ｚのとき、どれか２つの和は０であることを証明せよ。

どうやったらいいのか分かりません。

お願いします！

回答No.2

DJ-Potato · ベストアンサー

1/x + 1/y + 1/z = 1/(x+y+z)　　　・・・題意よりx≠0,y≠0,z≠0x+y+z≠0
通分して
(x+y+z)yz + (x+y+z)xz + (x+y+z)xy = xyz
(x+y+z)yz + (x+y+z)xz + (x+y+z)xy - xyz = 0
xyz + yyz + yzz + xxz + xyz + xzz + xxy + xyy + xyz - xyz = 0
xyz + yyz + yzz + xxz + xyz + xzz + xxy + xyy = 0
(x+y)(x+z)(y+z) = 0

∴　x+y=0またはx+z=0またはy+z=0

適切な方法かはわかりませんが、証明問題は後ろから手を付ける、という手があります。
本題の場合は、どれか２つの和が０である、を証明したいので、
(x+y)(x+z)(y+z) = 0
がゴールです。
xyz + yyz + yzz + xxz + xyz + xzz + xxy + xyy = (x+y)(x+z)(y+z)
の因数分解はちょっと難しいですが、
(x+y)(x+z)(y+z) = xyz + yyz + yzz + xxz + xyz + xzz + xxy + xyy
の展開なら、確実にできますよね。

お礼

どうも丁寧にありがとうございます

回答No.1

gohtraw

与えられた条件から
（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）／ｘｙｚ＝１／（ｘ＋ｙ＋ｚ）
（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）＝ｘｙｚ
ｘ＾２ｙ＋ｘｙｚ＋ｚｘ＾２＋ｘｙ＾２＋ｙ＾２ｚ＋ｘｙｚ＋ｘｙｚ＋ｙｚ＾２＋ｚ＾２ｘ＝ｘｙｚ
両辺からｘｙｚを引くと
ｘ＾２ｙ＋ｘｙｚ＋ｚｘ＾２＋ｘｙ＾２＋ｙ＾２ｚ＋ｘｙｚ＋ｙｚ＾２＋ｚ＾２ｘ＝０
これを因数分解すると
（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）＝０
となるので、ｘ、ｙ、ｚのうちどれか二つの和はゼロになります。

お礼

詳しい回答どうもありがとうございます