交換子、指数行列について

質問

上手く示す方法が分からないので、質問させていただきます。
XとYを行列とする。交換子[X,Y]=aを満たす時、exp(Y)Xexp(-Y)=X-aを示すという問題です。
私は、exp(Y)Xexp(-Y)=I-(XY-YX)+・・・となっていくと思うのですが、・・・の部分が０となるのをうまく証明できません。たとえ、1/2!がかかる部分だけ示せても、それ以降がちゃんと言えなければ、証明にならないと思います。　自分の表現不足だと思いますが、上手い証明方法を教えてください。お願いします。

2!のかかる部分を念のためしっかり書いてくださるとうれしいです。

回答No.1

heboiboro · ベストアンサー

地道に計算する方法を書きます。

exp(Y)Xexp(-Y)
= Σ(Y^n/n!)X(Σ(-Y)^m/m!)
= ΣΣ(-1)^mY^nXY^m/n!/m!

ここで、
XY^m = YXY^(m-1) + [X,Y]Y^(m-1) = YXY^(m-1) + aY^(m-1) = ... = Y^mX + amY^(m-1)

よって、
exp(Y)Xexp(-Y)
= ΣΣ(-1)^mY^n(Y^mX + amY^(m-1))/n!/m!
= ΣΣ(-1)^mY^nY^m/n!/m! X - aΣΣ(-1)^(m-1)Y^nY^(m-1)/n!/(m-1)!

このうち第一項のXの係数も第二項のaの係数も exp(Y)exp(-Y) に他ならないので1
よって、 exp(Y)Xexp(-Y) = X-a

お礼

XY^m=[Y^m,X]+Y^mXを使って、[Y^m,X]=maY^m-1となるので、計算すればうまくいくのですね！　ありがとうございます！

回答No.2

eatern27

exp(Y)Xexp(-Y)=X+[Y,X]+[Y,[Y,X]]/2!+[Y,[Y,[Y,X]]]/3!+・・・
となっているはずなので、[X,Y]がc数の時には最初の2項しか残らない事が分かるでしょう。

お礼

確かに確認できますが、証明としては、下の回答がしっくりきます。でも、３項目以降がどうなっていくのか分かったので良かったです。ありがとうございます。