複素積分

質問

I(ω) = ∫_{x=-∞ to ∞} cos(ωx +ξ) e^(-x^2/a^2) dx
= (√π)a cosξe^-(ωa/2)^2

となることを複素積分を用いて表せ

という問題なのですが、どのように解答の手順が分からずに困っています。
どなたか分かる方がいれば、ヒントなどよろしくお願いします。

回答No.2

de_Raemon · ベストアンサー

cos(ωx +ξ)はe^(i(ωx +ξ))の実部なので
∫_{x=-∞ to ∞} e^(i(ωx +ξ))e^(-x^2/a^2)dx …(1)
を計算した結果の実部をとればそれが答えです。
(1)の指数部分を平方完成すれば、積分は
e^(iξ)e^(-(ωa/2)^2)∫_{x=-∞ to ∞} e^(-(x-(iωa^2)/2)^2/(a^2))dx …(2)
となりますが、これはガウス積分ですね。

お礼

返信ありがとうございます。
なるほど、オイラーの公式を使うことで、ガウス積分の形にできるのですね。
今から計算してみます。
ありがとうございました。

回答No.1

Ae610

∫[-∞ to ∞] cos(ωx +ξ) e^(-x^2/a^2) dx

f(z)＝exp(－(z/a)^2)として∫[c]f(z)dzを積分路Cを四角形ABCD
AB:実軸上で(－p,p)
BC:虚軸と平行で(p,i0)→(p,iq)の向き
CD:実軸と平行で(p,iq)→(－p,iq)の向き
DA:虚軸と平行で(－p,iq)→(－p,i0)の向き
と取って見る。
積分路C内でf(z)は正則なのでコーシー積分定理から∫[c]f(z)dz＝0
∫[AB]+∫[BC]+∫[CD]+∫[DA]
から計算出来ると思う。

お礼

返信ありがとうございます。
経路の選択を迷っていたので、非常にありがたいヒントでした。
これから計算してみたいと思います。