不完全微分であることの証明

質問

物理化学（熱力学）分野で下記の問いが例題として出題されたのですが、どのように証明すればよいのかわかりません。

「V = nRT/P
d'w = -PdV
dV = (∂V/∂T)dT + (∂V/∂P)dP
これよりd'wが不完全微分（wが状態量でない）ことを証明せよ」

また、他の設問でdVが完全微分であることを証明せよという問いが出題されましたが、そちらは第一式にオイラーの判定基準を適用して解くことが出来ました。

回答No.1

noname#95312

d'W = -PdV
dV = (∂V/∂T)dT + (∂V/∂P)dP
の二式より、
d'W = -P(∂V/∂T)_P・dT -_P(∂V/∂P)_T・dP

V = nRT/P より、(∂V/∂T)_P = nR/P
(∂V/∂P)_T = -nRT/P^2

∴　d'W = -P(nR/P)・dT - P(-nRT/P^2)・dP
d'W = -nR・dT + (nRT/P)・dP

(∂/∂P)(-nR) = 0、(∂/∂Ｔ)(nRT/P) = nR/P で
(∂/∂P)(-nR) ≠ (∂/∂Ｔ)(nRT/P)

ゆえに、d'W は不完全である。
（ある (P,T) の状態から、異なった状態に到る道筋が変われば
d'W の線積分が異なることが示せる）